Lời giải:

Xét $\triangle BEC$ vuông tại $E$ có:

$O$ là trung điểm cạnh huyền $BC\quad (gt)$

$\Rightarrow OE = OB = OC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow \triangle OEB$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OEB}=\widehat{OBE}=\widehat{DBH}$

Xét $\triangle AEH$ vuông tại $E$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $AH\quad (gt)$

$\Rightarrow IE = IH = IA =\dfrac12AH$

$\Rightarrow \triangle IEH$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IEH}=\widehat{IHE}$

mà $\widehat{IHE}=\widehat{DHB}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{IEH} = \widehat{DHB}$

Khi đó:

$\quad \widehat{OEB} +\widehat{IEH} = \widehat{DBH} +\widehat{DHB}$

$\Leftrightarrow \widehat{IEO}= 90^\circ\quad (\triangle DHB$ vuông tại $D)$

$\Leftrightarrow \triangle IEO$ vuông tại $E$

Chứng minh tương tự ta được:

$\widehat{IFO} = \widehat{IFH} +\widehat{OFC} = \widehat{DHC} + \widehat{DCH} = 90^\circ$

Do đó $\triangle IFO$ vuông tại $F$

Xét tứ giác BFEC có:

góc BFC = 90 độ

góc BEC = 90 độ 

=> góc BFC = góc BEC (=90 độ )

mà 2 góc này cùng nhìn cạnh  BC dưới một góc 90 độ

=> Tứ giác BFEC nội tiếp

=> OE=OB

=> tam giác EOB cân tại O

=> góc BEC = góc EBO

=> góc BEC= góc BFC(1)

=> góc BFC = góc EBO (2)

Xét tứ giác AEHF có :

AFC = 90 độ

AEB=90 độ 

=> AFC+AEB=180 độ

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau 

=> Tứ giác AEHF nội tiếp 

<=> I là trung điểm của tâm đường tròn

=> Tam giác IEH cân tại I

=> $\left \{ {{góc IEH= góc IHE} \atop {góc IHE=góc BHD}} \right.$ 

=> góc IEH = góc BHD

=> góc BHD + góc EBO = 90 độ(3)

Từ (1),(2)và (3)

=> góc BEC+ góc IEH =90 độ 

=> tam giác IEO vuông tại E

Chứng minh tương tự => tam giác IFO vuông tại F

Chúc bạn học tốt !!