Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHB,\Delta CAB$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to\Delta AHB\sim\Delta CAB(g.g)$

b.Ta có $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$

$\to HA=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{24}5$

$\to BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\dfrac{18}5$

c.Xét $\Delta BHE, \Delta AHD$ có:

$\widehat{EHB}=90^o-\widehat{AHE}=\widehat{AHD}$ vì $HE\perp HD$

$\widehat{EBH}=90^o-\widehat{BAH}=\widehat{HAD}$

$\to\Delta BHE\sim\Delta AHD(g.g)$

Gọi $AD\cap BE=F$

Xét $\Delta FAE, \Delta FHD$ có:

Chung $\hat F$

$\widehat{FAE}=\widehat{FHD}(=90^o)$

$\to\Delta FAE\sim\Delta FHD(g.g)$

$\to \dfrac{FA}{FH}=\dfrac{FE}{FD}$

$\to \dfrac{FA}{FE}=\dfrac{FH}{FD}$

Mà $\widehat{HFA}=\widehat{EFD}$

$\to \Delta FAH\sim\Delta FED(c.g.c)$

$\to \widehat{FHA}=\widehat{FDE}$

$\to \widehat{ADE}=\widehat{AHE}$

$\to\widehat{EDH}= \widehat{ADH}-\widehat{ADE}=\widehat{BEH}-\widehat{EHA}=\widehat{EAH}=\widehat{BAH}$

$\to đpcm$

d.Ta có $D$ là trung điểm $AC\to DA=DH=DC=\dfrac12AC$ vì $AH\perp HC$

$\to \Delta HDA$ cân tại $D$

Mà $\Delta BHE\sim\Delta AHD$(câu c)

$\to \Delta BHE$ cân tại $E$

$\to \widehat{EBH}=\widehat{EHB}, EB=EH$

$\to 90^o-\widehat{EBH}=90^o-\widehat{EHB}$

$\to \widehat{EAH}=\widehat{EHA}$

$\to\Delta EAH$ cân tại $E$

$\to EA=EH$

$\to EA=EB(=EH)$

$\to E$ là trung điểm $AB$

$\to S_{HDE}=\dfrac12HE\cdot HD=\dfrac12\cdot \dfrac12AB\cdot \dfrac12AC=6$