Kẻ `FH⊥BC;BK⊥EF`

Vì `EF`//`BC⇒hat{F1}=hat{B1}`(so le trong)

Xét `2Δ` vuông `KFB` và `HBF` có:

   `hat{F1}=hat{B1}`(so le trong)

   `FB` cạnh chung

`⇒ΔKFB=ΔHBF`(cạnh huyền-góc nhọn)

Ta có:

`hat{E1}=hat{E2}`(đối đỉnh)

`hat{E2}=hat{ABC}`(đồng vị)

`hat{ABC}=hat{ACB}`(t/c tam giác cân `ABC`)

`⇒hat{E1}=hat{E2}=hat{ABC}=hat{ACB}`(t/c bắc cầu)

`⇒hat{E1}=hat{HCF}(1)`

Ta có:

`hat{KBE}=90^o-hat{E1}(2)`

`hat{HFC}=90^o-hat{HCF}(3)`

Từ `(1);(2)` và `(3)`:

`⇒hat{KBE}=hat{HFC}`

Xét `2ΔKEB` và `HCF` có:

 `hat{KBE}=hat{HFC}(cmt)`

 `hat{K}=hat{CHF}=90^o`

 `KB=HF(ΔKFB=ΔHBF)`

`⇒ΔKEB=ΔHCF(g-c-g)`

`⇒KE=HC`(`2` cạnh tương ứng)

Ta có:

`EF+BC=EF+BH+HC=BH+KF(6)`

--------------------

Giai thích `EF+HC=KF`

Có: `HC=KE(cmt)`

`→EF+HC=EF+KE=KF`

--------------------

Xét `Δ` vuông `BHF`

`BF>BH`(quan hệ đường xiên và đường vuông góc)`(4)`

Xét `Δ` vuông `BFK` có:

`BF>KF`(quan hệ đường xiên và đường vuông góc)`(5)`

Từ `(4)` và `(5)`,cộng vế theo vế:

`⇒2BF>BH+KF(7)`

Từ `(6)` và `(7)`:

`⇒2BF>EF+BC`

`⇒BF>1/2(EF+BC)(đpcm)`

Đáp án:

Kẻ `FM⊥BC (M ∈ BC), BN⊥EF (N ∈ EF)`

$\\$

$\\$

Do $EF//BC$ (giả thiết)

hay $NF//BC$

`-> hat{NFB} = hat{MBF}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔNFB` và `ΔMBF` có :

`hat{BNF} = hat{FMB} = 90^o`

`BF` chung

`hat{NFB} = hat{MBF}` (chứng minh trên)

`-> ΔNFB = ΔMBF` (cạnh huyền - góc nhọn)

`->BN  = FM` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

Do $NF//BC$
`-> hat{AEF} = hat{ABC}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{NEB} = hat{AEF}` (2 góc đối đỉnh)

`-> hat{ABC} = hat{NEB}`

Lại có : `hat{ABC} = hat{FCM}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> hat{NEB} = hat{FCM}`

Do `ΔBNE` vuông và `ΔFMC` vuông nên ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{NBE}+\widehat{NEB}=90^o\\ \widehat{MFC}+\widehat{FCM}=90^o\end{array} \right.\)

mà `hat{NEB} = hat{FCM}`

`-> hat{NBE} = hat{MFC}`

Xét `ΔNBE` và `ΔMFC` có :

`hat{BNE} = hat{FMC} = 90^o`

`BN = FM` (chứng minh trên)

`hat{NBE} = hat{MFC}` (chứng minh trên)

`-> ΔNBE = ΔMFC` (góc - cạnh - góc)

`-> NE = MC` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

Có : `EF + BC`

`= EF + BM + MC`

mà `NE = MC` (chứng minh trên)

`= EF + BM + NE`

`= (EF + NE) + BM`

`= NF + BM`

Xét `ΔNBF` có :

`hat{BNF} = 90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`BF` là cạnh lớn nhất

`-> BF > NF` `(1)`

Xét `Δ BMF` có :

`hat{BMF} = 90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`BF` là cạnh lớn nhất

`-> BF > BM` `(2)`

$\\$

$\\$

Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :

`-> BF + BF > NF + BM`

mà `EF + BC = NF + BM, BF + BF = 2 BF`

`-> 2BF > EF + BC`

`-> BC > 1/2 (EF + BC)`