a) \(a^2+b^2-2ab\\=(a-b)^2\)

Vì \( (a-b)^2\ge 0→a^2+b^2-2ab\ge 0\)

\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Vậy BĐT được chứng minh và dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

b) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\\↔\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab\ge 0\\↔\dfrac{a^2+b^2-2ab}{2}\ge 0\\↔\dfrac{(a-b)^2}{2}\ge 0\)

Vì \( (a-b)^2\ge 0,2>0→\dfrac{(a-b)^2}{2}\ge 0\)

\(→\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Vậy BĐT được chứng minh và dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

c) \(a(a+2)<(a+1)^2\\↔a^2+2a<a^2+2a+1\\↔a^2+2a-a^2-2a<1\\↔0<1(lđ)\)

Vậy BĐT được chứng minh 

d) \(m^2+n^2+2≥2m+2n\\↔m^2+n^2+2-2m-2n≥0\\↔(m^2-2m+1)+(n^2-2n+1)≥0\\↔(m-1)^2+(n-1)^2≥ 0\)

Vì \( (m-1)^2≥0,(n-1)^2≥0→(m-1)^2+(n-1)^2≥0\)

\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \( m=n=1\)

Vậy BĐT được chứng minh và dấu "=" xảy ra khi \(m=n=1\)

e) Áp dụng BĐT Cô si với các số dương

\(a+b≥2\sqrt{ab}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}≥2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

Nhân các vế của BĐT 

\( (a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})≥2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\)

\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Vậy BĐT được chứng minh và dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `a)`

`a^2+b^2-2ab>=0`

`<=>(a^2-ab)-(ab-b^2)>=0`

`<=>a(a-b)-b(a-b)>=0`

`<=>(a-b)(a-b)>=0`

`<=>(a-b)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b`

Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`

`b)`

`(a^2+b^2)/2>=ab`

`<=>a^2+b^2>=2ab`

`<=>a^2+b^2-2ab>=0`

`<=>(a^2-ab)-(ab-b^2)>=0`

`<=>a(a-b)-b(a-b)>=0`

`<=>(a-b)(a-b)>=0`

`<=>(a-b)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b`

Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`

`c)`

`a(a+2)<(a+1)^2`

`<=>a^2+2a<a^2+2a+1`

`=>0<1` Luôn đúng với `∀a,b`

`d)`

`m^2+n^2+2>=2(m+n)`

`<=>m^2+n^2+2-2(m+n)>=0`

`<=>(m^2-2m+1)+(n^2-2n+1)>=0`

`<=>(m-1)^2+(n-1)^2>=0` Luôn đúng với `∀m,n`

Dấu `=` xảy ra `<=>m=n=1`

`e)`

`(a+b)(1/a+1/b)>=4`

`<=>1/a+1/b>=4/(a+b)`

`<=>(a+b)/(ab)>=4/(a+b)`

`<=>(a+b)^2>=4ab`

`<=>a^2+b^2+2ab>=4ab`

`<=>a^2+b^2>=2ab`

`<=>a^2+b^2-2ab>=0`

`<=>(a^2-ab)-(ab-b^2)>=0`

`<=>a(a-b)-b(a-b)>=0`

`<=>(a-b)(a-b)>=0`

`<=>(a-b)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b>0`

Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`