Đáp án:

`a,`

Có : `AM` là đường trung tuyến 

`-> M` là trung điểm của `BC`

Xét `ΔMAB` và `ΔMDC` có :

`MA = MD` (giả thiết)

`BM =CM` (Do `M` là trung điểm của `BC`)

`hat{BMA} = hat{CMD}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔMAB = ΔMDC` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

$\\$

`b,`

Xét `ΔABC` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 225\\BC^2 = 15^2 = 225\end{array} \right.\)

`-> AB^2 + AC^2 = BC^2 (=225)`

`-> ΔABC` vuông tại `A` (Pitago đảo)

Do `ΔMAB = ΔMDC` (chứng minh trên)

`-> AB = CD` (2 cạnh tương ứng)

và `hat{ABM} = hat{MCD}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AB//DC$

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB⊥AC\\AB//DC\end{array} \right.\)

`-> DC⊥AC`

Xét `ΔABK` và `ΔCDK` có :

`hat{BAK} = hat{DCK} = 90^o` (Do `AB⊥AC, CD⊥AC`)

`AB = CD` (chứng minh trên)

`AK = CK` (Do `K` là trung điểm của `AC`)

`-> ΔABK = ΔCDK` (cạnh - góc - cạnh)

`-> KD = KB` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$c,$

Do `ΔABK = ΔCDK` (chứng minh trên)

`-> hat{AKB} = hat{CKD}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{AKN} = hat{CKI}`

Do `M` là trung điểm của `BC`

`-> MC = 1/2BC`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC`

`-> AM = 1/2 BC`

mà `MC = 1/2 BC` (chứng minh trên)

`-> AM =MC (=1/2BC)`

`-> ΔAMC` cân tại `M`

`-> hat{MAC} = hat{MCA}`

hay `hat{NAK} = hat{ICK}`

Xét `ΔANK` và `ΔCIK` có :

`AK = CK` (Do `K` là trung điểm của `AC`)

`hat{NAK} = hat{ICK}` (chứng minh trên)

`hat{AKN} = hat{CKI}` (chứng minh trên)

`-> ΔANK = ΔCIK` (góc - cạnh - góc)

`-> NK = IK` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔKNI` cân tại `K`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)`

xét `ΔMAB` và `ΔMDC` có

`MA=MD(gt)`

`MB=MC` (AM là trung tuyến)

`M_1=M_2` (đối đỉnh)

`⇒ΔMAB=ΔMDC(c-g-c)`

`b)`

có `ΔMAB=ΔMDC(cmt)`

`⇒hat{BMA}=hat{CMD}` (so le trong)

`⇒AB////DC`

mà `AB⊥AC`

`⇒CD⊥AC`

xét `ΔABK` và `ΔDCK` có

`AK=KC`

`AB=DC`

`hat{A}=hat{C}=90^o`

`⇒ΔABK=ΔDCK(c-g-c)`

`⇒KD=KB` (2 cạnh tương ứng)

`c)`

ta có:

`hat{ABK}+hat{KBM}=hat{ABM}`

`hat{CDK}+hat{KDM}=hat{CDM}`

`⇔hat{KBM}=hat{KDM}`

xét `ΔKBI` và `ΔKDN` có

`hat{K}chung`

`KB=KD`

`hat{KBI}=hat{KDN}`

`⇒ΔKBI=ΔKDN(g-c-g)`

`⇒KI=KN` (2 cạnh tương ứng)

`⇒ΔKNI` cân tại `I`