Giải thích các bước giải:

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EAC$

$\widehat{BCA}:$ chung

$\widehat{BAC}=\widehat{AEC}=90^o\\ \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta EAC\\ \Rightarrow \dfrac{AB}{EA}=\dfrac{BC}{AC}\\ \Rightarrow EA=\dfrac{AB.AC}{BC}$

$\Delta ABC$ vuông tại $A $

$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=50\\ \Rightarrow EA=24$

$b)BD$ là phân giác

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}$

Xét $\Delta BEF và \Delta BAD$

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\\ \widehat{BEF}=\widehat{BAD}=90^o\\ \Rightarrow \Delta BEF \backsim \Delta BAD\\ \Rightarrow \dfrac{BF}{BD}=\dfrac{EF}{AD}\\ \Rightarrow BD.EF=BF.AD\\ c)\Delta BEF \backsim \Delta BAD\\ \Rightarrow \widehat{F_1}=\widehat{D_1}$

Mà $\widehat{F_1}=\widehat{F_2}(đđ)$

$\Rightarrow \widehat{F_2}=\widehat{D_1}$

$\Rightarrow \Delta AFD$ cân tại $A$

$\Rightarrow AF=AD$

$d)\Delta ABE$ vuông tại $E$

$\Rightarrow BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=18\\ \Delta BEF \backsim \Delta BAD\\ \Rightarrow \dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BE}{BA}\\ \Leftrightarrow \dfrac{AE-AF}{AF}=\dfrac{18}{30}\\ \Leftrightarrow \dfrac{24}{AF}-1=\dfrac{3}{5}\\ \Leftrightarrow AF=15$

Đáp án:

a, `\DeltaABC` $\backsim$ `\DeltaEAC;AE=24` `\text{(cm)}`

b, $BD.EF=BF.AD$

c, $AF=AD$

d, $AF=15$ `text{(cm)}`

Giải thích các bước giải:

a, Áp dụng định lí Pitago vào `\Delta ABC` ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

`=>`$BC^2=30^2+40^2=2500$

`=>`$BC=25$ `\text{(cm)}`

Xét `\DeltaABC` và `\DeltaEAC` có:

`\hat{BAC}=\hat{AEC}=90^o`

`\hat{C}` chung

`=>``\DeltaABC` $\backsim$ `\DeltaEAC` `\text{(g.g)}`

`=>\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{AC}`

`=>\frac{30}{AE}=\frac{50}{40}`

`=>AE=24` `\text{(cm)}`

b, Xét `\DeltaABD` và `\DeltaEBF` có:

`\hat{BAD}=\hat{BEF}=90^o`

`\hat{ABD}=\hat{EBF}` `\text{(}`Do `BD` là đường phân giác`text{)}`

`=>` $\Delta{ABD} \sim \Delta{EBF}$ `\text{g.g}`

`=>`$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BF}{EF}$

`=>`$BD.EF=BF.AD$ `\text{(đpcm)`

c, Ta có: `\hat{ABD}+\hat{ADB}=\hat{EBF}+\hat{EFB}=90^o`

Mà `\hat{AED}=\hat{EFB}` `\text{(}`Hai góc đối đỉnh`\text{)}`

`\hat{ABD}=\hat{EBF}` `\text{(}`Do `BD` là đường phân giác`text{)}`

`=>\hat{ABD}+\hat{ADB}=\hat{ABD}+\hat{AED}`

`=>\hat{ADB}=\hat{AED}`

`=>\DeltaAED` cân tại `\text{A}`

`=>`$AF=AD$ `text{(}`Hai cạnh bên bằng nhau`text{)}`

d, Do `BD` là đường phân giác $\widehat{ABC}$

`=>`$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC}$

`=>`$\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{AD}{AD+DC}$

`=>`$\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{AD}{BC}$

`=>`$\dfrac{30}{30+50}=\dfrac{AD}{40}$

`=>`$AD=\dfrac{30.40}{30+50}=15$

Mà $AF=AD$ `\text{(}`Theo câu a`\text{)}`

`=>`$AF=15$ `text{(cm)}`