Giải thích các bước giải:

1.Ta có $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MA\perp OA, MB\perp OB$

$\to\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\to MAOB$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

2.Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OM$ là trung trực của $AB$

3. Ta có $MA\perp OA, AB\perp OM\to AE\perp MO$

$\to MA^2=ME.MO$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét $\Delta MAC, \Delta MAD$ có:
Chung $\hat M$

$\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\Delta MAC\sim\Delta MDA(g.g)$

$\to\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}$

$\to MA^2=MC.MD$

$\to MC.MD=ME.MO=MA^2$

4.Xét $\Delta MCE,\Delta MOD$ có:

Chung $\hat M$

$\dfrac{MC}{MO}=\dfrac{ME}{MD}$ vì $MC.MD=ME.MO$

$\to\Delta MCE\sim\Delta MOD(c.g.c)$

$\to\widehat{MEC}=\widehat{MDO}$

$\to CEOD$ nội tiếp

$\to C, E, O, D$ cùng thuộc một đường tròn

5.Ta có $CEOD$ nội tiếp

$\to\widehat{CEM}=\widehat{CDO}=\widehat{OCD}=\widehat{OED}$

$\to 90^o-\widehat{CEM}=90^o-\widehat{OED}$

$\to \widehat{CEA}=\widehat{AED}$

$\to EA$ là phân giác $\widehat{CED}$

$\to AB$ chứa tia phân giác $\widehat{CED}$

6.Ta có:

$\widehat{COM}=\widehat{COE}=\widehat{CDE}=\widehat{CDF}=\dfrac12\widehat{COF}$

$\to OM$ là phân giác $\widehat{COF}$

$\to OM\perp CF$

$\to OM$ là trung trực của $CF$

Do $E\in OM\to EC=EF$

$\to\Delta ECF$ cân tại $E$

Ta có $EA$ là phân giác $\widehat{DEC}$

$\to \widehat{AED}=\dfrac12\widehat{DEC}=\dfrac12\widehat{COD}=\widehat{CFD}$

$\to AE//CF$

$\to \widehat{CAB}=180^o-\widehat{ACF}=\widehat{ABF}$

$\to ABFC$ là hình thang cân

$\to CA=BF$

$\to \widehat{ADC}=\widehat{FDB}$

$\to \widehat{ADC}=\widehat{BDE}$

7.Ta có $N$ là trung điểm $CD\to ON\perp CD$

$\to \widehat{ONM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^o$

$\to M,A,N,O,B\in$ đường tròn đường kính $OM$

$\to\widehat{ANM}=\widehat{ABM}=\widehat{AHB}$

$\to CD//BH$

8.Xét $\Delta OEP,\Delta OMN$ có:

Chung $\hat O$

$\widehat{OEP}=\widehat{ONM}(=90^o)$

$\to\Delta OEP\sim\Delta ONM(g.g)$

$\to\dfrac{OE}{ON}=\dfrac{OP}{OM}$

$\to ON.OP=OE.OM=OA^2=OC^2$

$\to \dfrac{ON}{OC}=\dfrac{OC}{OP}$

Do $\widehat{CON}=\widehat{COP}$

$\to\Delta ONC\sim\Delta OCP(c.g.c)$

$\to\widehat{OCP}=\widehat{ONC}=90^o$

$\to PC$ là tiếp tuyến của $(O)$

9. Ta có $AQ$ là đường kính của $(O)\to QB\perp BQ$

Mà $AB\perp OM$

$\to BQ//OM$

$\to KI//BQ$

Ta có:

$\widehat{ACK}=\widehat{ACQ}=90^o=\widehat{AEK}$

$\to ACKE$ nội tiếp

Tương tự $ADIE$ nội tiếp

Ta có $ADTB$ nội tiếp và $DT//AB\to ADTB$ là hình thang cân

$\to \widehat{AKE}=\widehat{ACE}=\widehat{ACT}=\widehat{DAB}=\widehat{DAE}=\widehat{EIQ}$

$\to AK//QI$

$\to\dfrac{OK}{OI}=\dfrac{OA}{OQ}=1$

$\to OK=OI$

$\to O$ là trung điểm $KI$

10.Ta có $DT//AB, OM\perp AB\to OM\perp CD$

$\to OM$ là trung trực của $DT$

Mà $OM$ là trung trực của $CF$

Mặt khác $\widehat{CDT}=180^o-\widehat{DCF}=\widehat{DTF}\to CDTF$ là hình thang cân

$\to\widehat{ECF}=\widehat{EFC}=\widehat{DFC}=\widehat{TCF}$

$\to C,E,T$ thẳng hàng