$x_{1}$$x_{2}$$x_{3}$ $\leq$ $\frac{1}{27}$ cùng lém là nó = $\frac{1}{27}$

Bạn có thấy cái dòng 'Bất đẳng thức cần chứng minh ...'

Từ cái BĐT thức ở dòng đó có thể suy ra $x_{1}$$x_{2}$ + $x_{1}$$x_{3}$ + $x_{2}$$x_{3}$ $\leq$ $\frac{10}{27}$ - $x_{1}$$x_{2}$$x_{3}$

Mà $x_{1}$$x_{2}$$x_{3}$ $\leq$ $\frac{1}{27}$

suy ra $x_{1}$$x_{2}$ + $x_{1}$$x_{3}$ + $x_{2}$$x_{3}$ $\leq$ $\frac{10}{27}$ - $\frac{1}{27}$ = $\frac{9}{27}$ = $\frac{1}{3}$

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

Đây là một bất đẳng thức phụ quen thuộc

Giải thích các bước giải:

Với mọi số thực `x,y,z` ta luôn có:

`xy+yz+zx<=\frac{1}{3}(x+y+z)^2`

Chứng minh:

Ta có:

`(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0`

`<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0`

`<=>2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)>=0`

`<=>x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx`

`=>x^2+y^2+z^2+2(xy+zx+zx)>=3(xy+yz+zx)`

`<=>(x+y+z)^2>=3(xy+yz+zx)`

`<=>xy+yz+zx<=\frac{1}{3}(x+y+z)^2`

Áp dụng với `(x,y,z)=(x_1,x_2,x_3)`

Ta có:

`x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1<=\frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3)^2`