`a)` Xét `ΔHAE` và `ΔHBD` có:

         `hat{H_1}=hat{H_2}(2` góc đối đỉnh)`

         `hat{HEA}=hat{HDB}=90^o`

`⇒ΔHAE`$\sim$`ΔHBD(g.g)`

`⇒(HA)/(HB)=(HE)/(HD)`

`⇒HA.HD=HB.HE(đpcm)`

`b)` Ta có:`hat{B_1}+hat{C}=90^o(2` góc phụ nhau `)`

                `hat{B_1}+hat{E_1}==90^o(2` góc phụ nhau `)`

`⇒hat{C}=hat{E_1}`

Xét `ΔEKC` và `ΔBKE` có:

        `hat{C}=hat{E_1}(cmt)`

        `hat{EKC}=hat{BKE}=90^o`

`⇒ΔEKC`$\sim$`ΔBKE(g.g)`

`⇒(KE)/(KB)=(KC)/(KE)`

`⇒KE²=KB.KC`

`c)`Xét `ΔADC` và `ΔBEC` có:

        `hat{ADC}=hat{BEC}=90^o`

        `hat{C}:chung`

`⇒ΔADC`$\sim$`ΔBEC(g.g)`

`⇒(AC)/(BC)=(DC)/(EC)(1)`

Xét `ΔCID` và `ΔCKE` có:

        `hat{CID}=hat{CKE}=90^o`

        `hat{C}:chung`

`⇒ΔCID`$\sim$`ΔCKE(g.g)`

`⇒(IC)/(KC)=(DC)/(EC)(2)`

 Từ `(1)` và `(2)⇒(IC)/(KC)=(AC)/(BC)`

Hay `(IC)/(AC)=(KC)/(BC)`

Xét `ΔABC` có:

`(IC)/(AC)=(KC)/(BC)(cmt)`

`text{⇒IK//AB(theo định lý Ta-lét đảo)}`

a/ Xét \(ΔHAE\) và \(ΔHBD\):

\(\widehat{HEA}=\widehat{HDB}\) ( \(=90°\) )

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\) (đối đỉnh)

\(→ΔHAE\backsim ΔHBD(g-g)\)

b/ \(ΔHAE\backsim ΔHBD→\widehat{HBD}=\widehat{HAE}\) hay \(\widehat{EBK}=\widehat{DAC}\)

\(KE//AD\) (vì \(EK⊥BC,AD⊥BC\) )

\(→\widehat{DAC}=\widehat{CEK}\) (so le trong)

mà \(\widehat{DAC}=\widehat{EBK}\)

\(→\widehat{EBK}=\widehat{CEK}\)

Xét \(ΔEBK\) và \(ΔCEK\):

\(\widehat{EBK}=\widehat{CEK}\) (cmt)

\(\widehat{EKB}=\widehat{CKE}\) (\(=90°\) )

\(→ΔEBK\backsim ΔCEK(g-g)\)

\(→\dfrac{KE}{KB}=\dfrac{KC}{KE}\)

\(↔KE^2=KB.KC\)

c/ Xét \(ΔBEC\) và \(ΔADC\):

\(\widehat C\):chung

\(\widehat{BEC}=\widehat{ADC}\) (\(=90°\) )

\(→ΔBEC\backsim ΔADC(g-g)\)

\(→\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\)

\(↔\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{CA}\)

Xét \(ΔCED\) và \(ΔCBA\):

\(\widehat C\):chung

\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{CA}\) (cmt)

\(→ΔCED\backsim ΔCBA(c-g-c)\)

Xét \(ΔCID\) và \(ΔCKE\):

\(\widehat C\) :chung

\(\widehat{CID}=\widehat{CKE}\) (\(=90°\) )

\(→ΔCID\backsim ΔCKE(g-g)\)

\(→\dfrac{CI}{CD}=\dfrac{CK}{CE}\)

\(↔\dfrac{CI}{CK}=\dfrac{CD}{CE}\)

Xét \(ΔCED\) và \(ΔCKI\):

\(\widehat C\):chung

\(\dfrac{CI}{CK}=\dfrac{CD}{CE}\) (cmt)

\(→ΔCED\backsim ΔCKI\) mà \(ΔCED\backsim ΔCBA\)

\(→ΔCKI\backsim ΔCBA\)

\(→\widehat{CKI}=\widehat{CBA}\) mà 2 góc ở vị trí đồng vị

\(→IK//AB\)