Xét dãy ` n+1 , n+2 , .... , n + n` thì `n+n` là lớn nhất, nên ta có

` 1/(n+1) > 1/(n+n)`

` 1/(n+2) > 1/(n+n)`

` 1/(n+3) > 1/(n+n)`

...

` 1/(n+n-1) > 1/n+n`

`\to 1/(n+1) +1/(n+2) +...+ 1/(n+n) > 1/(n+n)+1/(n+n)+....+1/(n+n) = 1/(2n)  +1/(2n) + ... +1/(2n)`

` \to 1/(n+1) +1/(n+2) +...+ 1/(n+n) > n. ( 1/(2n))`

`\to 1/(n+1) +1/(n+2) +...+ 1/(n+n) > 1/2` (điều phải chứng minh)

Ta đi chứng minh bằng quy nạp toán học. Đặt biểu thức là (1)

Với $n=2$ thì ta có: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{{12}} > \dfrac{1}{2}$

Như vậy bất đẳng thức đúng với $n=2$ 

Giả sử $n=k$ đúng với $k>2$ ta được:

$\dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{1}{2}$

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi $n=k+1$, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

$\dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \dfrac{1}{2}$

Thật vậy ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}\\  = \dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{k + 1}}\\  = \dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)}}{{\left( {2k + 1} \right)2\left( {k + 1} \right)}}\\  = \dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\  > \dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{1}{2} \end{array}$ (theo giả thiết quy nạp)

Từ đó ta suy ra (1) đúng với mọi số tự nhiên $n>1$