a) Xét `ΔABH` và `ΔCBA` có:

        `\hat{ABC}:chung`

        `\hat{AHB} = \hat{CAB} = 90^o`

$⇒ ΔABH \backsim ΔCBA (g.g)$

b) ΔABC vuông tại A, áp dụng ĐL Pytago

`=> BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10`

Vì BD là phân giác của `\hat{ABC}`

`=> (DA)/(DC) = (AB)/(BC) = 6/10 = 3/5`

`=> (DA)/3 = (DC)/5 = (DA + DC)/(3+5) = (AC)/8 = 8/8=1`

`=> DA = 3; DC = 5`

c) Xét `ΔABD` và `ΔHBI` có:

         `\hat{BAD} = \hat{BHI}=90^o`

          `\hat{ABD} = \hat{HBI}` (BD là phân giác `\hat{B}`)

$⇒ ΔABD \backsim ΔHBI (g.g)$

`=> (AB)/(HB) = (BD)/(BI) => AB.BI=BD.HB`

d) Ta có: $ΔABH \backsim ΔCBA (cmt)$

`=> (AB)/(BC) = (BH)/(AB) => AB^2 = BC.BH`

`=> 6^2 = 10.BH => BH = 3,6`

`S_{ABD} = 1/2 . AB.AD = 1/2 . 6 . 3 = 9`

$ΔABD \backsim ΔHBI (cmt)$

`=> S_{ABD}/S_{HBI} = ((AB)/(BH))^2 = (6/(3,6))^2 = 25/9`

`=> 9/S_{HBI} =25/9 => S_{HBI} = (9.9)/25 = 3,24`

Đáp án:

a) Xét ΔABH và ΔCBA có:

$\begin{array}{l}
 + \widehat {AHB} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
 + \widehat {ABH}\,chung\\
 \Leftrightarrow \Delta ABH \sim \Delta CBA\left( {g - g} \right)\\
b)Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\
 \Leftrightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\\
Theo\,t/c:\\
\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{6} = \dfrac{{DC}}{{10}} = \dfrac{{AD + DC}}{{6 + 10}} = \dfrac{{AC}}{{16}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AD = 3\left( {cm} \right)\\
DC = 5\left( {cm} \right)
\end{array} \right.\\
Vậy\,AD = 3cm;DC = 5cm\\
c)Xet:\Delta ABD;\Delta HBI:\\
 + \widehat {ABD} = \widehat {HBI}\left( {gt} \right)\\
 + \widehat {BAD} = \widehat {BHI} = {90^0}\\
 \Leftrightarrow \Delta ABD \sim \Delta HBI\left( {g - g} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BD}}{{BI}}\\
 \Leftrightarrow AB.BI = BD.HB\\
d)Do:\Delta ABD \sim \Delta HBI\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{BI}}{{BD}} = \dfrac{{HI}}{{AD}} = \dfrac{{BH}}{{AB}}\\
Theo\,Pytago:\\
B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\\
 = {6^2} - {\left( {\dfrac{{6.8}}{{10}}} \right)^2}\\
 = 3,6\left( {cm} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{HI}}{3} = \dfrac{{3,6}}{6}\\
 \Leftrightarrow HI = 1,8\left( {cm} \right)\\
 \Leftrightarrow {S_{BHI}} = \dfrac{1}{2}.BH.IH = \dfrac{1}{2}.3,6.1,8 = 3,24\left( {c{m^2}} \right)\\
Vậy\,{S_{BHI}} = 3,24c{m^2}
\end{array}$