Đáp án:

Hình vẽ: xem ảnh

Cách dựng:

       `–` Chọn `A` thuộc góc `\hat{xOy}`

       `–`  Dựng điểm `D` đối xứng với A qua Ox

       `–`  Dựng điểm `E` đối xứng với `A` qua tia `Oy`

       `–`  Nối `DE` cắt Ox tại B, Oy tại C

       `–`  Lấy `B’` bất kì trên `Ox, C’` bất kì trên tia `Oy`. Nối `C’E, C’A, B’A, B’D.`

Tam giác `ABC` là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Vì góc `\hat{xOy}` nhọn nên `DE` luôn cắt `Ox` và `Oy` do đó `∆ ABC` luôn dựng được.

Chứng minh:

Chu vi `∆ ABC` bằng `AB + BC + AC`

Vì `D` đối xứng với `A` qua `Ox` nên `Ox` là đường trung trực của `AD`

`⇒ AB = BD` ( tính chất đường trung trực)

`E` đối xứng với `A` qua `Oy` nên `Oy` là đường trung trực của `AE`

`⇒AC = CE` ( tính chất đường trung trực)

Suy ra: `AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE `

Lấy `B’` bất kì trên `Ox, C’` bất kì trên tia `Oy`. Nối `C’E, C’A, B’A, B’D.`

Ta có: `B’A = B’D` ( tính chất đường trung trực)

            `C’A = C’E` (tính chất đường trung trực)

Chu vi `∆ AB’C’` bằng `AB’ + AC’ + B’C’ = B’D + B’C’ +C’E`

Vì `DE ≤ B’D + B’C’ + C’E` (dấu bằng sảy ra khi `B’` trùng `B. C’` trùng `C`)

`⇒DE≤AB'+AC'+B'C'`

mà `DE=AB + BC + AC`

`⇒AB+AC+BC≤AB'+AC'+B'C'`

⇒chu vi của `∆ ABC ≤` chu vị của `∆ AB’C’`(dấu bằng sảy ra khi `B’` trùng `B. C’` trùng `C`)

Vậy `∆ ABC` có chu vi bé nhất.