`Bunyakovsky`

`(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²`

`⇔ (ax)² + (ay)² + (bx)² + (bd)² ≥ (ax)² + 2abxy + (by)²`

`⇔ (ay)² + (bx)² ≥ 2abxy `

`⇔(ay)² - 2abxy + (bx)² ≥ 0`

`⇔(ay - bx)² ≥ 0 `

điều hiển nhiên 

`⇒(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²`

`Schwarz`

`(x^2+y^2)/2≥xy`

`⇔x^2+y^2≥2xy`

`⇔x^2+y^2-2xy≥0`

`⇔(x-y)^2≥0`

điều hiển nhiên 

`⇒(x^2+y^2)/2≥xy`

thay `x=√a;y=√b`

`⇒(a+b)/2≥\sqrt(ab)`

chứng minh schwarz

ta có $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$  ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$

    $\frac{a²y+b²x}{xy}$  ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$

(a²y+b²x)(x+y)≥(a+b)².xy

a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥(a²+2ab+b²)xy

a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥a²xy +2abxy +b²xy

(bx)²+(ay)²≥2(bx)(ay)

(bx)²-2(bx)(ay)+(ay)²≥0

(bx-ay)²≥0

vậy $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$  ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$(*)

Ta chứng minh bài toán tổng quát

$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{an²}{xn}$≥$\frac{(a1+a2+...+an)²}{x1+x2+....+xn}$

giả sử bài toán đúng với n=k

$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+...+ak)²}{x1+x2+....+xk}$

ta chứng minh bài toán đúng với n=k+1

ta phải chứng minh

$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+...+ak+1)²}{x1+x2+....+xk+1}$

$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+...+ak)²}{x1+x2+....+xk}$ (gt)

$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+...+ak)²}{x1+x2+....+xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$

≥$\frac{(a1+a2+...+ak+1)²}{x1+x2+....+xk+1}$(dpcm)