`a)` $E$ là trung điểm $AM$

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong $∆$ vuông vào $∆AEM$ và $∆ADM$

`=>IE=ID=1/ 2 AM` $(1)$

$\\$

$∆ABC$ đều có $AD$ là đường cao nên cũng là phân giác

`=>\hat{BAD}=\hat{CAD}=1/ 2 \hat{BAC}=30°`

Áp dụng tính chất góc ngoài $∆$

`=>\hat{EIM}=\hat{IEA}+\hat{IAE}=2\hat{IAE}` (hai góc bằng nhau do $∆$ cân suy ra từ trung tuyến $∆$ vuông)

Tương tự: 

`\qquad \hat{DIM}=2\hat{IAD}`

`=>\hat{EID}=\hat{EIM}+\hat{DIM}=60°` $(2)$

Từ `(1);(2)=>∆DEI` đều

$\\$

`b)` Tương tự chứng minh được: `ID=IF=1/ 2 AM`

`=>∆IDF` cân tại $I$

Áp dụng tính chất góc ngoài của $∆$

`=>\hat{MID}=2\hat{IAD}`

`\qquad \hat{MIF}=2\hat{IAF}`

`=>\hat{DIF}=\hat{MIF}-\hat{MID}=2\hat{CAD}=60°`

`=>∆IDF` đều

`=>ID=IF=DF`

Kết hợp câu `a` chứng minh được:

`\qquad IE=DE=IF=DF`

`=>EIFD` là hình thoi

$\\$

`c)` `EIFD` là hình thoi có `{K}=EF∩DI`

`=>K` là trung điểm $EF$ và $DI$

$\\$

$∆ABC$ đều có $H$ là trực tâm đồng thời là trọng tâm

Gọi $P$ là trung điểm $AH$

`=>AP=PH=HD`

Áp dụng tính chất đường trung bình trong $∆$ chứng minh được:

$\quad \begin{cases}IP//KH\\IP//MH\end{cases}$

`=>M;K;H` thẳng hàng (tiên đề Ơclit)