Đáp án:

Bài `3`

`a,`

Gọi tổng số học sinh đi thi học sinh giỏi là `x` (học sinh), (`x > 0`)

Biết số học sinh đạt giải nhất chiếm `1/2` tổng số học sinh : `1/2x`

Biết số học sinh đạt giải nhì bằng `80%` số học sinh đạt giải nhất : `1/2x × 80% = 2/5x`

Còn lại là có `5` học sinh đạt giải ba nên ta có :

`x-5 = 1/2x + 2/5x`

`-> x - 1/2 - 2/5x = 5`

`-> 1/10x = 5`

`-> x = 50` (học sinh), (tm đk `x > 0`)

Vậy tổng số học sinh đi thi học sinh giỏi là `50` học sinh

`b,`

Số học sinh đạt giải nhất là :

`1/2 × 50  =25` (học sinh)

Số học sinh đạt giải nhì là :

`2/5 × 50 = 20` (học sinh)

Tỉ số `%` học sinh đạt giải nhất so với tổng số học sinh đi thi là :

`25 ÷ 50 × 100 = 50%`

Tỉ số `%` học sinh đạt giải nhì so với tổng số học sinh đi thi là :

`20 ÷ 50 × 100 = 40%`

Tỉ số `%` học sinh đạt giải ba so với tổng số học sinh đi thi là :

`5 ÷ 50 × 100 = 10%`

Vậy ....

Bài `4`

`a,`

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia `NP` có :

`hat{PNy} < hat{PNM}`

`-> Ny` nằm giữa 2 tia `NP` và `NM`

`-> hat{PNy} + hat{MNy} = hat{PNM}`

`-> hat{MNy} = hat{PNM} - hat{PNy} = 140^o - 90^o`

`-> hat{MNy} = 50^o`

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia `MN` có :

`hat{MNx} < hat{MNP}`

`-> Nx` nằm giữa `NP` và `MN`

`-> hat{MNx} + hat{PNx} = hat{MNP}`

`-> hat{PNx} = hat{MNP} - hat{MNx}=140^o-90^o`

`-> hat{PNx} = 50^o`

Ta có : `hat{MNy} = 50^o, hat{PNx} = 50^o`

`-> hat{MNy} = hat{PNx} = 50^o`

`b,`

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia `PN` có :

`hat{PNx} < hat{PNy}`

`-> Nx` nằm giữa 2 tia `NP` và `Ny`

`-> hat{PNx} + hat{xNy} = hat{PNy}`

`-> hat{xNy} = hat{PNy} - hat{PNx}=  90^o - 50^o`

`-> hat{xNy} = 40^o`

`c,`

Vì `Nz` là tia phân giác của `hat{xNy}`

`-> hat{yNz} = 1/2 hat{xNy} = 1/2 . 40^o = 20^o`

và `Nz` nằm giữa `Nx` và `Ny`

mà `Nx` nằm giữa `NP` và `Ny`

`-> Nz` nằm giữa `NP` và `Ny`

`-> hat{PNz} + hat{yNz} = hat{PNy}`

`-> hat{PNz} = hat{PNy} - hat{yNz} = 90^o - 20^o`

`-> hat{PNz} = 70^o`

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia `PN` có :

`hat{PNz} < hat{PNM}`

`-> Nz` nằm giữa 2 tia `NP` và `NM` `(1)`

`-> hat{PNz} + hat{MNz} = hat{PNM}`

`-> hat{MNz} = hat{PNM} - hat{PNz} = 140^o - 70^o`

`-> hat{MNz} = 70^o`

Ta có : `hat{PNz} = 70^o, hat{MNz} = 70^o`

`-> hat{PNz} = hat{MNz}=  70^o` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`-> Nz` là tia phân giác của `hat{PNM}`

`\text{3)}`

Gọi số học đoàn là `x` ( học sinh ; `x > 0` )

Theo đề bài ta có :

Số học sinh giỏi chiếm `1/2` tổng số học sinh tức : `1/2x`

Số học sinh đạt giải nhì chiếm `80%` số học sinh đạt nhất tức :

`80% . 1/2x = 0,4x`

Số học sinh còn lại là số học sinh đạt giải ba :

`=> x  - 1/2x - 0,4x = 5`

`=> (1 - 1/2 - 0,4)x = 5`

`=> 1/10x = 5`

`=> x = 5 : 1/10`

`=> x = 50` ( học sinh )

`\text{b)}`

Số học sinh đạt giải nhất là :

`1/2 . 50 = 25` ( học sinh )

Số học sinh đạt giải nhì là :

`0,4 . 50 = 20` ( học sinh )

Tỉ số phần trăm giữa số học sinh đạt giải nhất so với số học sinh đi thi là :

`25/50 .  100 = 50%`

Tỉ số phần trăm giữa số học sinh đạt giải nhì so với số học sinh đi thi là :

`20/50  . 100 = 40%`

Tỉ số phần trăm giữa số học sinh đạt giải ba so với số học sinh đi thi là :

`5/50 . 100 = 10 %`

`\text{4)}`  

 `\text{a)}`

Ta có :

` \hat{PNy} < \hat{PNM}`

`-> Ny` nằm giữa `NP` và `NM`

`=> \hat{PNy} + \hat{MNy} = \hat{MNP}`

`=>  90^o + \hat{MNY} = 140^o`

`=> \hat{MNy} = 50^o` `(1)`

`\hat{MNx} < \hat{MNP}`

`=> Nx` nằm giữa `MN` và `NP`

`=> \hat{MNx} + \hat{PNx} = \hat{MNP}`

`=>  90^o + \hat{PNx} = 140^o`

`=> \hat{PNx} = 50^o` `(2)`

Từ `(1) ; (2) => \hat{MNy} = \hat{PNx}`

`\text{b)}`

Ta có : `\hat{PNx} < \hat{PNy}`

`=> Nx` nằm giữa `NP` và `Ny`

`=> \hat{PNx} + \hat{yNx} = \hat{PNy}`

`=> 50^o + \hat{yNx} = 90^o`

`=> \hat{yNx} = 40^o`

`\text{c)}`

Vì `Nz` là tia phân giác của `\hat{xNy}`

`=> \hat{yNz} = \hat{zNy} = {40^o}/2 = 20^o`

Ta có :

`Nz` nằm giữa `Nx` và `Ny`

`Nx` nằm giữa `NP` và `Ny`

`=> `Nz` nằm giữa `NP` và `Ny`

`=> \hat{zNp} + \hat{yNz} = \hat{PNy}`

`=> 90^o + \hat{yNz} = 20^o`

`=> \hat{yNz} = 70^o`

`\hat{PNz} < \hat{PNM}`

`->  Nz` nằm giữa `NP` và `NM` `(1)`

`=> \hat{PNz}  + \hat{MNz}  = \hat{PNM}`

`=>  70^o+ \hat{MNz} = 140^o`

`=> \hat{MNz} = 70^o`

`=> \hat{MNz} =\hat{yNz} ( = 70^o)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> Nz` là tia phân giác của `\hat{PNM}`