Đáp án:

Ý `d,` chưa cho điểm `E` và `K` nên mình chỉ làm `3` ý còn lại thôi nhé.

Giải thích các bước giải:

`a,`

Xét `ΔMNP` vuông tại `M` có :

`MP^2 + MN^2 = NP^2` (Pitago)

`-> NP^2 = 3^2 + 4^2`

`-> NP^2 = 5^2`

`-> NP = 5cm`

$\\$

Xét `ΔMNP` có :

`MP = 3cm, MN =4cm, NP = 5cm`

`-> MP < MN < NP`(Vì `3cm < 4cm < 5cm`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`hat{N} < hat{P} < hat{M}`

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔCPM` và `ΔCPA` có :

`hat{CPM} = hat{CPA} = 90^o`

`CP` chung

`AP = PM` (giả thiết)

`-> ΔCPM = ΔCPA` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

$\\$

$c,$

Vì `ΔCPM = ΔCPA` (chứng minh trên)

`-> hat{ACP} = hat{MCP}` (2 góc tương ứng)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}CP⊥AM\\MN⊥AM\end{array} \right.\)

`->` $CP//MN$

`-> hat{CMN} = hat{MCP}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{ACP} = hat{MCP}`

`-> hat{CMN} = hat{ACP} (= hat{MCP})`

$\\$

Vì $CP//MN$

`-> hat{CNM} = hat{ACP}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{CMN} = hat{ACP}`

`-> hat{CNM} = hat{CMN} (= hat{ACP})`

`-> ΔCMN` cân tại `C`

`-> CM = CN`

$\\$

$\\$

$d,$

Vì `ΔCPM = ΔCPA` (chứng minh trên)

`-> CM = CA` (2 cạnh tương ứng)

mà `CM  = CN`

`-> CA = CN (=CM)`

`-> C` là trung điểm của `AN`

$\\$

Xét `ΔAMN` có :

`MC` là đường trung tuyến (Vì `C` là trung điểm của `AN`)

`NP` là đường trung tuyến (Vì `P` là trung điểm của `AM`)

`MC` cắt `NP` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔAMN`

`-> NG = 2/3 NP`

`-> NG = 2/3 . 5`

`-> NG = 10/3cm`

`\text{a)}`

Áp dụng định lý Py-ta-go cho `\Delta MNP` vuông tại `M`

`=> MN^2 +MP^2 = NP^2`

`=> 4^2 + 3^2 = NP^2`

`=> NP^2 = 25`

`=> NP = 5 (cm)`

Ta có :

`NP >   MN > MP ( 5cm > 4cm > 3cm )`

`=> \hat{M} > \hat{P} > \hat{N}` ( Quan hệ giữa góc và cạnh đối điện )

`\text{b)}`    

Xét `\Delta CPM` và `\Delta CPA` cùng vuông tại `P` có :

`PM =PA (\ text{gt} )`

`CP` _ cạnh chung

`=> \Delta CPM = \Delta CPA ( \text{ 2 cạnh góc vuông } )

`\text{c)}`      

Ta có :

`NM ⊥ MA`

 `CP ⊥ MA`

`=> MN // CP`

`=> \hat{MCP} = \hat{CMN}` ( `2` góc so le trong )

Theo `\text{cmt} : \Delta CPM = \Delta CPA`

`=> \hat{MCP} = \hat{PCA} ) ` ( `2` cạnh tương ứng )

`=> \hat{CMN} = \hat{PCA}`

Vì `MN \tex{//} CP`

`=>\hat{MNC} = \hat{PCA}`

`=> \hat{MNC} = \hat{CMN}`

`=> \Delta MNC` cân tại `C`

`=> CM = CN` 

`\text{d)}`

Ta có :

`NP ∩ MA = {P}`

`MP =PA`

`=> MP` là đường trung tuyến xuất phát từ `N` của `\Delta AMN`

`=> NG = 2/3 NP`

`=> NG = 5 . 2/3= 10/3 (cm)`

`\text{e)}`

Câu này có vấn đề bạn nhé .