Đáp án:`min_P=1<=>x=1,y=1,z=1/2`

Giải thích các bước giải:

`x^2z^2+y^2z^2+1<=3z`

Vì `z^2>=0` nên ta chia 2 vế cho `z^2` ta có:

`<=>x^2+y^2+1/z^2<=3/z(1)`

Cần CM BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

Áp dụng cosi:`1/a^2+1/b^2>=2/(ab)`

Vậy nhất thiết phải chứng minh `2/(ab)>=8/(a+b)^2`

`<=>1/(ab)>=4/(a+b)^2`

`<=>(a+b)^2>=4ab`

`<=>a^2-2ab+b^2>=0`

`<=>(a-b)^2>=0`(luôn đúng)

Vậy ta có BĐT được chứng minh `1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

Áp dụng BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

`=>1/(x+1)^2+(4z^2)/(1+2z)^2`

`=1/(x+1)^2+1/(1+1/(2z))^2>=8/(x+2+1/(2z))`

Áp dụng BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

`=>8/(x+2+1/(2z))+8/(y+3)^2>=64/(x+2+1/(2z)+y+3)^2=256/(2x+2y+1/z+10)^2`

`<=>P>=256/(2x+2y+1/z+10)^2`

Áp dụng cosi:`x^2+1>=2x,y^2+1>=2y,1/z^2+4>=4/z`

`<=>x^2+y^2+1/z^2+6>=2x+2y+4/z`

Mà `x^2+y^2+1/z^2<=3/z(1)`

`=>2x+2y+4/z<=3/z+6`

`<=>2x+2y+1/z<=6`

`<=>P>=256/256=1`

Dấu "=" xảy ra khi `x=1,y=1,z=1/2`

Vậy `min_P=1<=>x=1,y=1,z=1/2`

Đáp án:

`1/a^2 + 1/b^2 ≥ 8/(a + b)^2 ↔ (a - b)^2 >= 0 (l,đ)`

 `x^2z^2 + y^2z^2 + 1 <= 3z -> x^2 + y^2 + 1/z^2 <= 3/z`.

Đặt `1/z = r -> x^2 + y^2 + r^2 <= 3r`

`2x + 2y + 4r ≤ x^2 + 1 + y^2 + 1 + r^2 + 4 ≤ 3r + 6`

`-> 2x+  2y + r ≤ 6`

`P = 1/(x+  1)^2 + 8/(y + 3)^2 + 1/(1/(2z) + 1)^2 ≥ 8/(x + 1/(2z) + 2)^2 + 8/(y + 3)^2 ≥ 64/(x + 1/(2z) + y + 5)^2 = 256/(2x + 2y + r + 10)^2 ≥ 256/(6 + 10)^2 = 1`

Dấu $"=" <=> x = y = 1$ `; z = 1/2`

Giải thích các bước giải: