Đáp án:

Bài 1:

 a.Xét ΔAOC và ΔBOC có:

OA =OB (GT)

Góc O1 = O2 (Oz là phân giác)

Oc chung

⇒ΔAOC = ΔBOC (c - g - c)

⇒ AC = BC (cạnh tương ứng) hay C là trung điểm của AB

b. Xét ΔOAM và ΔOBM có:

OA =0B (GT)

OM chung

Góc O1 = O2 (O là phân giác)

⇒ΔOAM = ΔOBM (c - g -c)

⇒ Góc AOM = BOM (so le trong)

nên AM // OB

⇒ Góc AOM = BOM (so le trong)

nên BM // OA

c. Xét ΔKOM và ΔIOM có:

Góc K = I (=90 độ)

Góc O1 = O2 (O là phân giác)

OM chung

⇒ΔKOM = ΔIOM (góc vuông - góc nhọn - cạnh huyền)
⇒OK = OI (cạnh tương ứng)

Lại có AK = OK - OA

          BI = OI - 0B

mà OA = OB, OK = OI nên AK = BI

d. ΔI∩AK = N

Có ΔONK = ΔONI vì:

OK = OI

ON chung

OIA =OIN

⇒KON = ION

⇒N ∈ phân giác xOy

⇒M,N, O thẳng hàng

Bài 2:

a, BAH = 180 độ - ABH - AHB

HAC = 180 độ - ACH - AHC

Mà ABH = ACH  ( vì ΔABC cân)

AHC = AHB

⇒ BAH = HAC

ΔABH và ΔACH có:

Chung cạnh AH

AB = AC ( vÌ ΔABC cân)

BAH = HAC 

⇒ΔABH =ΔACH (c - g - c)

b, Xét ΔANG và ΔCNK có:

AN = CN ( vì N là tđ của AC)

ANG = CNK ( vì đđ)

GN = KN (gt)

=> ΔANG=ΔCNK (c-g-c).

=> GAN = KCN (hai góc t/ứng).

Mà GAN và KCN ở vị trí slt nên:

=> AG//CK (đpcm).

c, Do tam giác ABC có: N là tđ của AC nên:

=> BN là đg trung tuyến của AC cắt AH tại G (1)

Do tam giác ABC có: AH vừa là đg cao nên:

=> AH cũng là đg trung tuyến của BC (t/ch trong tam giác cân) (2)

Xét ΔABC có: Từ (1) và (2) => G là trọng tâm của ΔABC

=> BG=2GNB=2GN (3)

Ta có: GN + NK = GK

hay GN + GN = GK

=> GK = 2GN (4)

Từ (3) và (4) => BG = GK

=> G là tđ của BK (đpcm)

Bài 3: 

a. AI là phân giác của BAC

⇒I cách đêu AB, AC tức là:

IM = IN (1)

ΔINC vuông tại N

⇒$NC^{2}$ = $IC^{2}$ - $IN^{2}$ (2)

ΔIBM vuông tại M

⇒$BM^{2}$ = $IB^{2}$ -$IM^{2}$ (3)

Mặt khác: IB = IC (4)

(Do I nằm trên trung tực của BC)

Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ BM = CN

b. AI là phân giác của BAC ⇒ Theo tính chất đường phân giác, ta có:

AM = AN

Mặt khác: NE = NC + CE = MB + AB = AM

⇒ NE = AN ⇒ N là trung điểm của AE 

Khi đó, IN vuông góc với AE tại trung điểm N của AE 

⇒IN là trung trực của AE

c. C1: Lấy J ∈ ACsao cho AJ = AB

ΔAFB và ΔAFJ có:

AB = AJ

BAF = JAF (gt)

AF chung

⇒ΔAFB = ΔAFJ ⇒ FB = FJ (1)

Suy ra: AJF = ABF < 90 độ

ΔFJC có FJC =180 độ - AJF > 90 độ

⇒ΔFJC  có FJC tù ⇒ FC > JF (2)

Từ (1), (2) ⇒ FC > FB

C2: Theo tính chất đường phân giác:

$\frac{FB}{FC}$ = $\frac{AB}{AC}$ < 1

⇒FC > FB 

Đáp án:

Bài 1:

 a.Xét ΔAOC và ΔBOC có:

OA =OB (GT)

Góc O1 = O2 (Oz là phân giác)

Oc chung

⇒ΔAOC = ΔBOC (c - g - c)

⇒ AC = BC (cạnh tương ứng) hay C là trung điểm của AB

b. Xét ΔOAM và ΔOBM có:

OA =0B (GT)

OM chung

Góc O1 = O2 (O là phân giác)

⇒ΔOAM = ΔOBM (c - g -c)

⇒ Góc AOM = BOM (so le trong)

nên AM // OB

⇒ Góc AOM = BOM (so le trong)

nên BM // OA

c. Xét ΔKOM và ΔIOM có:

Góc K = I (=90 độ)

Góc O1 = O2 (O là phân giác)

OM chung

⇒ΔKOM = ΔIOM (góc vuông - góc nhọn - cạnh huyền)
⇒OK = OI (cạnh tương ứng)

Lại có AK = OK - OA

          BI = OI - 0B

mà OA = OB, OK = OI nên AK = BI

d. ΔI∩AK = N

Có ΔONK = ΔONI vì:

OK = OI

ON chung

OIA =OIN

⇒KON = ION

⇒N ∈ phân giác xOy

⇒M,N, O thẳng hàng

Bài 2:

a, BAH = 180 độ - ABH - AHB

HAC = 180 độ - ACH - AHC

Mà ABH = ACH  ( vì ΔABC cân)

AHC = AHB

⇒ BAH = HAC

ΔABH và ΔACH có:

Chung cạnh AH

AB = AC ( vÌ ΔABC cân)

BAH = HAC 

⇒ΔABH =ΔACH (c - g - c)

b, Xét ΔANG và ΔCNK có:

AN = CN ( vì N là tđ của AC)

ANG = CNK ( vì đđ)

GN = KN (gt)

=> ΔANG=ΔCNK (c-g-c).

=> GAN = KCN (hai góc t/ứng).

Mà GAN và KCN ở vị trí slt nên:

=> AG//CK (đpcm).

c, Do tam giác ABC có: N là tđ của AC nên:

=> BN là đg trung tuyến của AC cắt AH tại G (1)

Do tam giác ABC có: AH vừa là đg cao nên:

=> AH cũng là đg trung tuyến của BC (t/ch trong tam giác cân) (2)

Xét ΔABC có: Từ (1) và (2) => G là trọng tâm của ΔABC

=> BG=2GNB=2GN (3)

Ta có: GN + NK = GK

hay GN + GN = GK

=> GK = 2GN (4)

Từ (3) và (4) => BG = GK

=> G là tđ của BK (đpcm)

Bài 3: 

a. AI là phân giác của BAC

⇒I cách đêu AB, AC tức là:

IM = IN (1)

ΔINC vuông tại N

⇒NC2NC2 = IC2IC2 - IN2IN2 (2)

ΔIBM vuông tại M

⇒BM2BM2 = IB2IB2 -IM2IM2 (3)

Mặt khác: IB = IC (4)

(Do I nằm trên trung tực của BC)

Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ BM = CN

b. AI là phân giác của BAC ⇒ Theo tính chất đường phân giác, ta có:

AM = AN

Mặt khác: NE = NC + CE = MB + AB = AM

⇒ NE = AN ⇒ N là trung điểm của AE 

Khi đó, IN vuông góc với AE tại trung điểm N của AE 

⇒IN là trung trực của AE

c. C1: Lấy J ∈ ACsao cho AJ = AB

ΔAFB và ΔAFJ có:

AB = AJ

BAF = JAF (gt)

AF chung

⇒ΔAFB = ΔAFJ ⇒ FB = FJ (1)

Suy ra: AJF = ABF < 90 độ

ΔFJC có FJC =180 độ - AJF > 90 độ

⇒ΔFJC  có FJC tù ⇒ FC > JF (2)

Từ (1), (2) ⇒ FC > FB

C2: Theo tính chất đường phân giác:

FBFCFBFC = ABACABAC < 1

⇒FC > FB