1, Ta có: `∠CAD = ∠BAC + 90^o`

              `∠BAE = 90^o + ∠BAC`

`=> ∠CAD = ∠BAE`

Xét `ΔACD` và `ΔABE` có:

AB = AD (gt)

`∠CAD = ∠BAE`

AC = AE (gt)

`=> ΔACD = ΔABE (c.g.c)`

2, Trên tia tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN

Kẻ `DQ ⊥ AM` tại Q

Xét `ΔAEM` và `ΔDMN` có:

AM = MN

`∠AME = ∠DMN` (2 góc đối đỉnh)

DM = EM (vì M là trung điểm của DE)

`=> ΔDMN = ΔEMA (c.g.c)`

`=> DN = AE` (2 cạnh tương ứng)

`∠N = ∠EAM` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`=>` AE // DN

`=> ∠DAE + ∠ADN = 180^o` (2 góc trong cùng phía)

Vì `∠DAE + ∠BAC = 180^o` nên `∠BAC = ∠ADN`

Ta có: DN = AE (cmt) ; AC = AE (gt)

`=> AC = DN`

Xét `ΔABC` và `ΔADN` có:

AB = AD (gt)

`∠BAC = ∠ADN` (cmt)

AC = DN

`=> ΔACB = ΔDNA (c.g.c)`

`=> ∠N = ∠ACB` (2 góc tương ứng)

Lại có: `∠CAH + ∠EAM = 90^o`

           `NDQ + ∠N = 90^o` (vì `ΔDNQ` vuông tại Q)

Mà `∠N = ∠EAM` (cmt)

`=> ∠EAM + ∠NDQ = 90^o`

`=> ∠NDQ = ∠CAH`

Xét `ΔACH` và `ΔDNQ` có:

`∠CAH = ∠NDQ` (cmt)

DN = AC (cmt)

`∠ACH = ∠N` (cmt)

`=> ΔACH = ΔDNQ (g.c.g)`

`=> ∠DQN = ∠AHC` (2 góc tương ứng)

Mà `∠DQN = 90^o`

`=> ∠AHC = 90^o`

`=> MA ⊥ BC`   (đpcm)

3, Đặt `CH = x`

`=> BH = a - x`

Xét `ΔABH` vuông tại H và `ΔACH` vuông tại H theo định lí Pytago có:

`AC^2 = AH^2 + CH^2`

`AB^2 = AH^2 + BH^2`

`=> AH^2 = AC^2 - CH^2 = AB^2 - BH^2`

`= b^2 - x^2 = c^2 - (a - x)^2`

`=> b^2 = c^2 - a^2 - 2ax`

`=> CH^2 = x = (a^2 + b^2 - c^2)/(2a)`

`\text{1)}`

Ta có :

`\hat{\text{BAE}} = \hat{\text{BAD}} + \hat{\text{DAE}} = 90^o + \hat{\text{DAE}}`

`\hat{\text{DAC}} = \hat{\text{CAE}} + \hat{\text{DAE}} = 90^o + \hat{\text{DAE}}` 

`=> \hat{BAE} = \hat{DEC}`

 Xét `\Delta \text{ABE}` và `\Delta \text{CAD}` có :

`\text{AE}  = \text{AC} ( \text{gt} )`

`\hat{\text{BAE}} = \hat{\text{DEC}}`

`\text{AB} = \text{AD} ( \text{gt} )`

`=> \Delta \text{ABE} = \Delta \text{ADC} ( \text{c . g . c} )`

`=> \text{BE} = \text{CD} ( \text{2 cạnh tương ứng )` 

`\text{2)}`            

 Trên tia đối của tia `\text{AM}` lấy điểm `\text{G}` sao cho `\text{AM} = \text{MG}` . 

 Xét `\Delta \text{MGD}` và `\Delta \text{MEA}` có :

`\text{MD} = \text{ME} ( \text{gt} )`

`\text{DMG} = \text{EAM} ( \text{ 2 góc đối đỉnh } )`

`\text{MA} = \text{MG} ( \text{cmt} )`

`=> \Delta MGD = \Delta  MAE ( \text{ c . g . c } )` 

`=> \Delta \text{MDG} = \Delta \text{MEA}` 

`=> \text{DG} = \text{AE}`

Mà `\text{AE} = \text{AC} => \text{DG} = \text{AC}`

Do đây là `2` góc so le trong

`=>` ` \text{DG // AE} `

`=> \hat{\text{GDA}} + \hat{\text{DAE}} = 180^o ( \text{ 2 góc trong cùng phía } )`  

Nhận thấy :

`\hat{\text{DAM}}  ; \hat{\text{MAE}} ; \hat{\text{DAB}}; \hat{\text{EAC}};  \hat{\text{BAC}}` đều tạo thành `1` hình tròn nên tổng số đo của chúng là `360^o`

`=> \hat{\text{DAM}}  + \hat{\text{MAE}} + \hat{\text{DAB}} +\hat{\text{EAC}} + \hat{\text{BAC}} = 360^o`

`=>\hat{\text{DAE}} + 90^o + 90^o + \hat{\text{BAC}} = 360^o`

`=> \hat{DAE} + \hat{\text{BAC}} = 360^o - 90^o - 90^o = 180^o` 

`=> \hat{\text{GDA}} + \hat{\text{DAE}} = \hat{\text{DAE}} + \hat{\text{BAC} ( = 180^o )`

`=> \hat{\text{GDA}} = \hat{\text{BAC}}`     

`-` Chứng minh tương tự `\Delta \text{ADM} = \Delta \text{BAC} ( \text{ c . g .c } )`

`=> \hat{\text{DAK}} = \hat{\text{CBA}} ( \text{ 2 góc tương ứng } )`

Ta lại có :

`\hat{\text{HAD}} + \hat{\text{DAK}} ( \text{ 2 góc kề bù } )`

`=> \hat{\text{HAB}} + \hat{\text{BAD}} + \hat{\text{DAK}} = 180^o`

`=> \hat{\text{HAB}}  + 90^o + \hat{\text{DAK}}  = 180^o`

`=> \hat{\text{HAB}} + \hat{\text{DAK}} = 90^o`     

`=> \hat{\text{HAB}} + \hat{\text{ABC}} = 90^o`

`=> \Delta \text{ABH}` là `\Delta` vuông tại `\text{H}`

`=> \Delta AH ⊥ BC`

`=> \Delta MA ⊥ BC`   

`\text{3)}` 

 Cho `HC = t`

`=> HB = BC - HC = a - t   ` 

Áp dụng định lý Py-ta - go cho `\Delta \text{ABH}` và `\Delta \text{ACH}` cùng vuông tại `\text{H}`

$\begin{cases} AB^2 = HB^2 + AH^2 \\ AC^2 =AH^2 + HC^2 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} c^2 = (a-t)^2 + AH^2 \\ b^2 =AH^2 + t^2 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} AH^2 = c^2 - (a-t)^2 \\ AH^2 = b^2 - t^2 \end{cases}$

`=> AH^2 = c^2 - (a-t)^2 = b^2 - t^2`

`=> b^2 = c^2 - (a-t)^2 + t^2`

`=>  b^2 = c^2 - (a-t)(a-t) + t^2`

`=> b^2 = c^2  + a(a-t) - t(a - t) + t^2`

`=> b^2 = c^2 + a^2 - at - at - t^2 + t^2`

`=> b^2 = c^2 + a^2 - 2at `

`=> 2at = c^2 + a^2 - b^2`

`=> t = {c^2 + a^2 - b^2}/{2a}`

`=>  HC = {c^2 + a^2 - b^2}/{2a}`