Bài 3:

a) Xét `ΔAOM` và `ΔBOM` có:

`∠OAM = ∠OBM = 90^o`

OM cạnh chung

`∠O_{1} = ∠O_{2}`

`=> ΔBOM = ΔAOM` (cạnh huyền - góc nhọn)   (đpcm)

b) Ta có: `ΔBOM = ΔAOM` (cmt)

`=> AM = BM` (2 cạnh tương ứng)

`=> ΔABM` cân tại M   (đpcm)

c) Ta có: `ΔBOM = ΔAOM` (cmt)

`=> ∠M_{1} = ∠M_{2}` (2 góc tương ứng)

`=> MI` là đường phân giác của `ΔABM` cân tại M

`=> IM` cũng là đường cao

`=> MI ⊥ AB` hay `AB ⊥ OM`   (đpcm)

d) Xét các `ΔAOI` vuông tại I, `ΔAIM` vuông tại I, `ΔAOM` vuông tại A theo định lí Pytago có:

`AO^2 = IO^2 + AI^2`  (1)

`AM^2 = IM^2 + AI^2`  (2)

`OM^2 = AM^2 + AO^2`  (3)

Từ (1), (2), (3)

`=> OM^2 = IO^2 + AI^2 + IM^2 + AI^2 = OI^2 + IM^2 + 2AI^2`   (đpcm)

Đáp án:

`a,`

Xét `ΔOMA` và `ΔOMB` có :

`hat{OAM} = hat{OBM} = 90^o`

`OM` chung

`hat{AOM} = hat{BOM}` (giả thiết)

`-> ΔOMA = ΔOMB` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔOMA = ΔOMB` (chứng minh trên)

`-> AM = BM` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔAMB` cân tại `M`

$\\$

$\\$

$c,$

Ta có : `AM = BM` (chứng minh trên)

`-> M` nằm trên đường trung trực của `AB` `(1)`

Vì `ΔOMA = ΔOMB` (chứng minh trên)

`-> OA = OB` (2 cạnh tương ứng)

`-> O` nằm trên đường trung trực của `AB` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`-> OM` là đường trung trực của `AB`

`-> AB⊥OM`

$\\$

$\\$

$d,$

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔAIO` có :

`AI^2 + OI^2 = AO^2`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔAIM` có :

`AI^2 + IM^2 = AM^2`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔAOM` có :

`AO^2 + AM^2 = OM^2`

mà \(\left\{ \begin{array}{l}AI^2 + OI^2 = AO^2\\AI^2 + IM^2 = AM^2\end{array} \right.\)

`-> OM^2  = AI^2 + OI^2 + AI^2 + IM^2`

`-> OM^2 = 2AI^2 + IM^2 + OI^2`