Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Vẽ điểm `F` sao cho `N` là trung điểm của `MF`

Xét `2ΔANM` và `ΔCNF` ta có:

      `hat{N1}=hat{N2}`(đối đỉnh)

      `AN=CN`(gt)

     `NM=NF`(gt)

`⇒ΔANM=ΔCNF``(c-g-c)`

`⇒hat{C1}=hat{A}`(`2` góc tương ứng)

Mà `2` góc `C1` và `A` nằm ở vị trí so le trong

`⇒``AM`//`CF`

Lại có:`AM=MB`

→`MB`//`CF`

Nối `MC`

Ta có:`AM=MB`(gt) và `AM=CF``(ΔANM=ΔCNF``(c-g-c)``)`

`⇒MB=CF`

Xét `2ΔBMC` và `ΔFCM` ta có:

       `MB=CF`(cmt)

       `hat{BMC}=hat{FCM}`(`MB`//CF`)

       `MC` cạnh chung

`⇒ΔBMC=ΔFCM(c-g-c)`

`⇒hat{M1}=hat{C2}(2` góc tương ứng)

Hai góc này ở vị trí so le trong`⇒MF`//`BC` hay `MN`//`BC`

Ta có:`MF=BC`(Do`ΔBMC=ΔFCM(c-g-c)`);`MF=2.MN`

`⇒BC=2MN⇒MN=1/2BC`

Trên tia đối của `NM` lấy điểm `I` sao cho `NM = NI`. Nối M với C

Xét `ΔAMN` và `ΔCIN` có:

`AN = NC` ( vì `N` là trung điểm của `AC`)

`hat(ANM) = hat(INC)`(hai góc đối đỉnh)

`MN = NI` ( theo cách vẽ)

`=> ΔAMN = ΔCIN` (c.g.c)

`=>hat(MAN) = hat(NCI)` (hai góc tương ứng)

`AM = IC`(hai cạnh tương ứng)

Mà `AM = MB`(vì M là trung điểm của AB)

`=> IC = MB`

`hat(MAN) = hat(NCI)` mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong nên AB//CI

`=> hat(BMC) =hat(MCI)` (hai góc so le trong)

Xét `ΔBCM` và `ΔIMC` có:

`IC = MB` (chứng minh trên)

`hat(BMC)  = hat(MCI)` (chứng minh trên)

`MC` là cạnh chung

`=> ΔBCM = ΔIMC` (c.g.c)

`=>` +) hat(BCM) =hat(CMI)` (hai góc tương ứng) mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

`=>` MN//BC

+) `BC = IM` mà `IM = 2MN`

`=> BC = 2MN`

`=> 1/2 BC =MN`

Vậy MN//BC; `MN = 1/2 BC`