Bài 16.

a. Ta có: `∠BAN = 90^o + ∠BAC`

             `∠CAM = 90^o + ∠BAC`

`=> ∠BAN = ∠CAM`

Xét `ΔABN` và `ΔACM` có:

AC = AN (vì `ΔACN` vuông cân tại A)

`∠BAN = ∠CAM` (cmt)

AB = AM (vì `ΔABM` vuông cân tại A)

`=> ΔABN = ΔAMC (c.g.c)`

`=> BN = CM` (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

b. Ta có: BN = CM

`=> 1/2BN = 1/2CM`

`=> BF = FN = EC = EM`

Vì `ΔABN = ΔAMC` (cmt)

nên `∠M_{1} = ∠B_{1}` (2 góc tương ứng)

Xét `ΔAEM` và `ΔABI` có:

EM = BF (cmt)  

`∠M_{1} = ∠B_{1}` (cmt)

AM = AB (cmt)

`=> ΔAEM = ΔAFB (c.g.c)`

`=> AE = AF` (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

c. Xét `ΔAHM` vuông tại A có: `∠M_{1} + ∠H_{1} = 90^o`  (định lí)

Mà `H_{1} = ∠H_{2}` (2 góc đối đỉnh)

`=> ∠H_{2} + ∠M_{1} = 90^o`

Vì `∠M_{1} = ∠B_{1}` nên `∠H_{2} + ∠B_{1} = 90^o`

`=> ΔBIH` vuông tại I

`=> BN ⊥ CM` tại I   (đpcm) 

Đáp án:

`a,`

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{MAC}=90^o+\widehat{BAC}\\\widehat{BAN}=90^o+\widehat{BAC}\end{array} \right.\)

`-> hat{MAC} = hat{BAN}`

$\\$

Xét `ΔAMC` và `ΔABN` có :

`AM = AB` (Vì `ΔAMB` cân tại `A`)

`AN = AC` (Vì `ΔANC` cân tại `A`)

`hat{MAC} = hat{BAN}` (chứng minh trên)

`-> ΔAMC  = ΔABN` (cạnh - góc - cạnh)

`-> MC = BN` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔAMC = ΔABN` (chứng minh trên)

`-> hat{AME} = hat{ABF}` (2 góc tương ứng)

Ta có : `ME = 1/2 MC` (Vì `E` là trung điểm của `MC`)

Ta có : `BF = 1/2 BN` (Vì `F` là trung điểm của `BN`)

mà `MC = BN`

`-> ME = BF`

$\\$

Xét `ΔAME` và `ΔABF` có :

`AM = AB` (Vì `ΔAMB` cân tại `A`)

`ME = BF` (chứng minh trên)

`hat{AME} = hat{ABF}` (chứng minh trên)

`-> ΔAME = ΔABF` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AE = AF` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$c,$

Vì `ΔAMH` vuông tại `A`

`-> hat{AME} + hat{AHM} = 90^o`

mà `hat{AME} = hat{HBI}` (Vì `ΔAMC = ΔABHN`), `hat{AHM} = hat{BHI}` (2 góc đối đỉnh)

`-> hat{HBI} + hat{BHI} = 90^o`

hay `ΔBHI` vuông tại `I`

`-> MC⊥BN`