a/ Áp dụng định lý Pytago vào \(ΔABC\) vuông tại \(A\):

\(→AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12(cm)\)

b/ Xét \(ΔMAB\) và \(ΔMDC\):

\(MA=MD(gt)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(MB=MC\) (\(M\) là trung điểm \(BC\) )

\(→ΔMAB=ΔMDC(c-g-c)\)

c/ \(ΔMAB=ΔMDC→AB=DC\) (2 cạnh tương ứng)

\(ΔABC\) vuông tại \(A\) mà \(AM\) là đường trung tuyến \(BC\)

\(→AM=BM\) mà \(ΔMAB=ΔMDC\)

\(→MA=MB=MC=MD\)

Xét \(ΔCAD\):

\(MC=MD=MA=\dfrac{AD}{2}\)

mà \(MC\) là đường trung tuyến ứng \(BC\)

\(→ΔCAD\) vuông tại \(C\)

Xét \(ΔKBA\) và \(ΔKDC\):

\(AB=CD(cmt)\)

\(\widehat{KAB}=\widehat{KCD}(=90^\circ)\)

\(KA=KC\) (\(K\) là trung điểm \(AC\) )

\(→ΔKBA=ΔKDC(c-g-c)\)

\(→KB=KD\) (2 cạnh tương ứng)

\(→ΔKBD\) cân tại \(K\)

Xét \(ΔABC\):

\(BK,AM\) là đường trung tuyến ứng \(AC,BC\)

mà \(BK∩AM≡\{N\}\)

\(→N\) là trọng tâm mà \(CE\) là đường trung tuyến ứng \(AB\) (\(E\) là trung điểm \(AB\) )

\(→C,N,E\) thẳng hàng

Câu 6:

a) Xét `ΔABC` vuông tại A có: `BC^2 = AB^2 + AC^2` (định lí Pytago)

`=> AC = BC^2 - AB^2 = 144`

`=> AC = \sqrt{144} = 12 (cm)`

Vậy `AC = 12cm`.

b) Xét `ΔABM` và `ΔCDM` có:

AM = DM (gt)

`∠AMB = ∠CMD` (2 góc đối đỉnh)

BM = CM (vì M là trung điểm của BC)

`=> ΔABM = ΔDCM (c.g.c)`   (đpcm)

c) Ta có: `ΔABM = ΔDCM` (cmt)

`=> AB = CD` (2 cạnh tương ứng)

       `∠CDM = ∠BDM` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`=>` AB // CD

Ta có: `BA ⊥ AC`

`=> CD ⊥ AC`

`=> ∠BAK = ∠DCK = 90^o`

Xét `ΔABK` và `ΔCDK` có:

AB = CD (cmt)

`∠BAK = ∠DCK` (cmt)

AK = CK (vì K là trung điểm của AC)

`=> ΔABK = ΔCDK (c.g.c)`

`=> BK = DK` (2 cạnh tương ứng)

`=> ΔBDK `cân tại K  (1c)

Xét `ΔABC` có: 2 đường đường trung tuyến BK và CE cắt nhau tại N

`=> N` là trọng tâm của `ΔABC`

Lại có: CE là đường trung tuyến

`=> `Đường thẳng CE đi qua trọng tâm N của `ΔABC`

`=> 3` điểm C, E, N thẳng hàng  (2c)

Từ (1c), (2c)

`=>` đpcm