Đáp án:

$D.\ \left(\dfrac{11}{2};6\right)$

Giải thích các bước giải:

 $(C):\ f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d$

Đặt $d:\ g(x)= mx + n$

Dựa vào đồ thị đã cho, ta được:

$d = 3;\ n = 1$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\quad f(x) - g(x)= 0$

$\Leftrightarrow ax^3 + bx^2 + (c-m)x + 2= 0\quad (*)$

$d$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm có hoành độ lần lượt $x = -2,x = 1, x = 2$

$\Rightarrow x = -2, x = 1, x = 2$ là nghiệm của $(*)$

Ta được hệ phương trình:

$\quad\ \begin{cases}a.(-2)^3 + b.(-2)^2 + (c - m).(-2) + 2 = 0\\a.1^3 + b.1^2 + (c-m).1 + 2 = 0\\a.2^3 + b.2^2 + (c-m).2+ 2 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-8a + 4b - 2(c-m)+ 2= 0\\a + b + (c-m) + 2 = 0\\8a + 4b + 2(c-m)+2 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a =\dfrac12\\b =-\dfrac12\\c - m = -2\end{cases}$

Ta được:

$f(x)- g(x)= \dfrac12x^3 - \dfrac12x^2 - 2x + 2$

Khi đó, diện tích cần tìm là:

$\quad S =\displaystyle\int\limits_{-2}^2\bigg|f(x) - g(x)\bigg|dx$

$\Leftrightarrow S = \displaystyle\int\limits_{-2}^1\bigg[f(x) - g(x)\bigg]dx + \displaystyle\int\limits_1^2\bigg[g(x) - f(x)\bigg]dx$

$\Leftrightarrow S = \displaystyle\int\limits_{-2}^1\left(\dfrac12x^3 - \dfrac12x^2 - 2x + 2\right)dx - \displaystyle\int\limits_1^2\left(\dfrac12x^3 - \dfrac12x^2 - 2x + 2\right)dx$

$\Leftrightarrow S =\dfrac{71}{12}\in \left(\dfrac{11}{2};6\right)$