Lời giải:

a) Xét $ΔAEH$ và $ΔBDH$ có:

$\widehat{AHE}=\widehat{BHD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{AEH}=\widehat{BDH}=90^0$

$⇒ΔAEH \backsim ΔBDH(g-g)$

b) Có $ΔAEH \backsim ΔBDH$ (từ a)

$⇒\dfrac{AH}{HE}=\dfrac{BH}{HD}(*)$ 

Xét $ΔBHA$ và $ΔDHE$ có:

$\dfrac{AH}{HE}=\dfrac{BH}{HD}$ [từ $(*)$)

$\widehat{BHA}=\widehat{DHE}$ (hai góc đối đỉnh)

$⇒ΔBHA \backsim ΔDHE(c-g-c)$

$⇒\dfrac{HA}{HE}=\dfrac{AB}{ED}$
$⇒HA.ED=AB.HE$

c) Áp dụng định lý Pytago vào `ΔADC` vuông tại $D$, ta được:

 `DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(cm)`

Xét $ΔADC$ và $ΔBDH$ có:

$\widehat{ADC}=\widehat{BDH}=90^0$

$\widehat{BCA}$ chung

$⇒ΔADC \backsim ΔBDH(g-g)$

$⇒\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{DB}{DH}$
$⇒\dfrac{DB}{DH}=\dfrac{3}{4}$ 

d) Có $\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{HD.BC}{AD.BC}=\dfrac{2S_{HBC}}{2S_{ABC}}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}$ (1)

Tương tự: $\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{HE.AC}{BE.AC}=\dfrac{2S_{HAC}}{2S_{ABC}}=\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}$ (2)

$\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{HF.AB}{CF.AB}=\dfrac{2S_{HAB}}{2S_{ABC}}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

$\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1$ 

.