Giải thích các bước giải:

Câu 4:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADB} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta DAB \sim \Delta ACB\left( {g.g} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta DAB \sim \Delta ACB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{CB}}
\end{array}$

Mà $BE $ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$ \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}$

Như vậy nên: 

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{DB}}{{AB}}\left( { = \dfrac{{BA}}{{BC}}} \right)\\
 \Rightarrow AB.AE = EC.BD
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {CBF} = \widehat {EBA}\\
\widehat {CFB} = \widehat {EAB} = {90^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta CFB \sim \Delta EAB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {BEA}\left( 1 \right)
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\widehat {HFC} = \widehat {HEF}\left( { + \widehat {HCF} = {{90}^0}} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {HFC} = \widehat {BEA}\left( 2 \right)\left( {\widehat {HEF} = \widehat {BEA}\left( {dd} \right)} \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {HFC}$

d) Ta có:

$I$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ của $\Delta BCF$

$\to IF=IC$

$\to \Delta ICF$ cân ở $I$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {IFC} = \widehat {ICF}\\
 \Rightarrow \widehat {IFC} = \widehat {BCF}\\
 \Rightarrow \widehat {IFC} = \widehat {HFC}\\
 \Rightarrow I \in HF
\end{array}$

$\to F,H,I$ thẳng hàng

Câu 5:

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left( {a + \dfrac{b}{{ac}}} \right)\left( {b + \dfrac{c}{{ab}}} \right)\left( {c + \dfrac{a}{{bc}}} \right)\\
 \ge 2\sqrt {a.\dfrac{b}{{ac}}} .2\sqrt {b.\dfrac{c}{{ab}}} .2\sqrt {c.\dfrac{a}{{bc}}} \left( {BDT:Cauchy} \right)\\
 = 8\sqrt {abc.\dfrac{{abc}}{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}} \\
 = 8
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{b}{{ac}}\\
b = \dfrac{c}{{ab}}\\
c = \dfrac{a}{{bc}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
abc = \dfrac{1}{{abc}}\\
a = {b^2}\\
b = {c^2}\\
c = {a^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
abc = 1\\
a = {b^2} = {c^4} = {a^8}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1
\end{array}$

Vậy ta có điều phải chứng minh