Giải thích các bước giải:

1.Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to B, E, F, C\in$ đường tròn đường kính $BC$

Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^o$

$\to AEDB$ nội tiếp

2.Xét $\Delta BDA,\Delta BFC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BDA}=\widehat{BFC}(=90^o)$

$\to\Delta BDA\sim\Delta BFC(g.g)$

$\to\dfrac{BD}{BF}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to BD.BC=BF.BA$

Tương tự chứng minh được $CE.CA=CD.CB$

$\to BF.BA+CE.CA=BD.BC+CD.CB=BC^2$ không đổi khi $A$ di động trên cung lớn $BC$

3.Ta có $\widehat{MBC}=\widehat{MAC}=\widehat{DAE}=\widehat{EBD}$ vì $ABDE$ nội tiếp

$\to BC$ là phân giác $\widehat{HBM}$

Mà $AD\perp BC$

$\to BC$ đồng thời là phân giác và đường cao $\Delta HBM$

$\to\Delta BHM$ cân tại $B$

Vì $BD\perp HM$

$\to H, M$ đối xứng qua $BD$

$\to H, M$ đối xứng qua $BC$

4.Ta có $BCEF$ nội tiếp

$\to\widehat{FEB}=\widehat{FCB}=\widehat{PCB}=\widehat{PNB}$

$\to EF//PN$

5.Ta có $\widehat{EBF}=\widehat{ECF}$ vì $BCEF$ nội tiếp

$\to\widehat{ABN}=\widehat{ACP}$

$\to AN=AP$

$\to A$ nằm giữa cung $PN$

$\to OA\perp PN$

Mà $EF//PN\to OA\perp EF$