Đáp án:

a, `n=2^2020k-1`

b, Hai số nguyên trên không đồng thời là số chính phương

Giải thích các bước giải:

a, Ý tưởng:

`(2n+1)^3+1=2(n+1)(4n^2+2n+1)`

Dễ thấy `4n^2+2n+1` chia `2` dư `1`

Nên để `(2n+1)^3+1\vdots 2^2021` thì `(n+1)\vdots 2^2020`

`=>n+1=2^2020k` `(k\in ZZ^+)`

`=>n=2^2020k-1`

b, Ý tưởng

Dễ thấy `p` lẻ

`=>n+1\vdots p`

Mặt khác

`4n^2+2n+1=4(n+1)(n-1)+2(n+1)+3`

`=>3\vdots p`

`=>p=3`

Đến đây ta giả sử hai số nguyên đều là số chính phương thì tích của chúng cũng là một số chính phương

Hay `\frac{2n+2}{3}.\frac{4n^2+2n+1}{3}=a^2` `(a\in ZZ^+)`

`=>(2n+1)^3=9a^2-1`

`=>(2n+1)^3=(3a+1)(3a-1)`

Do `(3a+1,3a-1)=1`

`=>` Tồn tại `x,y` nguyên sao cho `xy=2n+1` và `x^3=3a+1;y^3=3a-1`, `(x,y)=1`

`=>(x-y)(x^2+xy+y^2)=2`

`=>x=-1;y=1`

`=>a=0` (vô lí)

`=>` Giả thiết sai

`=>` Đpcm