a)

$BI$ là phân giác $\widehat{B}\to \widehat{EBI}=\widehat{CBI}$

$EF//BC\to \widehat{EIB}=\widehat{CBI}$ (so le trong)

$\to \widehat{EBI}=\widehat{EIB}\to \Delta BEI$ cân tại $E$

Tương tự: $\Delta CFI$ cân tại $F$

b)

$\Delta BEI$ cân tại $E\to BE=IE$

$\Delta CFI$ cân tại $\to CF=IF$

$\to BE+CF=IE+IF=EF$

c)

$\Delta BEI$ cân tại $E$ có $EM$ là trung tuyến

Nên $EM$ cũng là đường cao$\to EM\bot BI$ tại $M$

Xét $\Delta OBI$ có $OM$ vừa là đường cao, đường trung tuyến

Nên $\Delta OBI$ cân tại $O\to OI=OB$

Tương tự: $\Delta OCI$ cân tại $O\to OI=OC$

Vậy $OB=OC$

d)

Xét $\Delta ABC$ có hai đường phân giác $BI,CI$ cắt nhau tại $I$

Nên $I$ là giao điểm ba đường phân giác của $\Delta ABC$

Do đó $AI$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Delta BEI$ cân tại $B\to EO$ là tia phân giác $\widehat{BEI}$

$\Delta CFI$ cân tại $F\to FO$ là tia phân giác $\widehat{CFI}$

Xét $\Delta AEF$ có hai đường phân giác ngoài $EO,FO$ cắt nhau tại $O$

Nên $AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Vậy $AO\equiv AI\to A,I,O$ thẳng hàng