Đáp án:

$D.\ 3a^3$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\begin{cases}SA\perp SB\quad (gt)\\SA\perp SC\quad (gt)\end{cases}$

$\Rightarrow SA\perp (SBC)$

$\Rightarrow SA\perp BC$

Từ $S$ kẻ $SM\perp BC$

Khi đó:

$\begin{cases}SM\perp BC\quad \text{(cách dựng)}\\SA\perp BC\quad (cmt)\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAM)$

Trong $mp(SAM)$ kẻ $SH\perp AM$

$\Rightarrow BC\perp SH$

Khi đó:

$\begin{cases}SH\perp AM\quad \text{(cách dựng)}\\BC\perp SH\quad (SH\subset (SAM))\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABC)$

$\Rightarrow H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$

$\Rightarrow HA$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABC))}=\widehat{SAH}= 60^\circ$

$\Rightarrow SH = SA.\sin\widehat{SAH}= a\sqrt2.\sin60^\circ = \dfrac{a\sqrt6}{2}$

Do $SA,\ SB,\ SC$ đôi một vuông góc

nên $\dfrac{1}{d^2(S;(ABC))}=\dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{SB^2} + \dfrac{1}{SC^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{SH^2}=\dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{SB^2} + \dfrac{1}{SC^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{3a^2}{2}} = \dfrac{1}{2a^2} + \dfrac{1}{9a^2} + \dfrac{1}{SC^2}$

$\Rightarrow SC = 3a\sqrt2$

Ta được:

$V_{S.ABC}= \dfrac16SA.SB.SC = \dfrac16\cdot a\sqrt2\cdot 3a\cdot 3a\sqrt2 = 3a^3$