a) Xét tam giác ABD và tam giác HBD có:
góc DAB = góc DHB (=90) (DH ⊥BC)
DB cạnh chung 
góc ABD = góc HBD ( vì BD phân giác góc ABC )
=>tam giác ABD = tam giác HBD (cạnh huyền -góc nhọn)
b)Vì tam giác ABD = tam giác HBD (cmt)
=>AB=BH(2 canh t/ứng)
Gọi giao điểm của AH và BD là I
Xét tam giác ABI và tam giác HBI có 
AB =HB (cmt)
góc ABI = góc HBI (vì I thuộc BD)
BI cạnh chung
=>tam giác ABI =tam giác HBI (c-g-c)
=>AI=IH (2 cạnh t/ứng)
    góc AIB = góc HIB (2 góc t/ứng)
Mà hai góc này ở vị trí kề bù
=>ABI + HIB = 180 (2 góc kề bù)
=>AIB=HIB=180/2 =90
=>BI ⊥AH (1)
vì AI =HI (CMT)
=>I trung điểm AH (2)
Từ (1) và (2) =>BI trung trực AH
Mà I  ∈ BD
=>BD trung trực AH (đpcm)
c)Vì B+C =90 (vì tam giác ABC vuông tại A)
mà B =60 (gt)
=>C=90-60=30
Mà BD phân giác ABC nên ABD =HBD =60/2=30
=>C = DBH
Xét tam giác BDH và tam giác CDH :
DHB=DHC ( Vì DH ⊥ BC )
DH CHUNG 
DBH = C (CMT)
=> tam giác BDH = tam giác CDH (G-C-G)
=>BH=CH (2 cạnh t/ứng)
=>H trung điểm BC ( đpcm)

d, mình chưa biết làm á thongcam nha