Đáp án:

n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n 6.

Giải thích các bước giải:

Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1)

         = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

         = (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12

 

         = Uk + 3(k2 + k + 4)

Mà: Uk 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k2 + k + 4) 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 2)

⇒ Uk + 1 6.

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 11n

= n3 – n + 12n

= n(n2 – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) 6.

Lại có: 12n 6

⇒ n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n 6.

Đáp án:

 Bạn tham khảo

Giải thích các bước giải:

Ta có :
`n^3 +11n = n^3 - n +12n`

`->`  `n . (n^2 -1 ) + 12n`
`-> ( n - 1 ) . n . ( n + 1 )  + 12n` 
Vì `n` là số tự nhiên nên

`=>` `( n - 1) . n . (n+1)` là tích `3` số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
Vì :

`12` chia hết cho `6` nên `12n` chia hết cho `6`
Suy ra `( n - 1 ) . n . (n+1) + 12n` chia hết cho `6`
`=>` `n^3+ 11n` chia hết cho `6`