Đáp án:

`a,`

`text{Xét ΔBAC và ΔDAE có :}`

`hat{BAC} = hat{DAE} = 90^o`

`text{AB = AD (Vì ΔABD cân tại A)}`

`text{AC = AE (Vì ΔACE cân tại A)}`

`->` `text{ΔBAC = ΔDAE (cạnh  - góc - cạnh)}`

`->` `text{BC = DE (2 cạnh tương ứng)}`

$\\$

$\\$

$b,$

`text{Vì ΔABD vuông cân tại A}`

`-> hat{ADB} = hat{ABD} = (180^o - hat{A})/2`

`-> hat{ADB} = hat{ABD} = 45^o (1)`

$\\$

`text{Vì ΔACE vuông cân tại A}`

`-> hat{ACE} = hat{AEC} = (180^o - hat{A})/2`

`-> hat{ACE} = hat{AEC} = 45^o (2)`

$\\$

`text{Từ (1) và (2)}`

`-> hat{ADB} = hat{ACE} = 45^o`

`text{mà 2 góc này ở vị trí so le trong}`

`->` `text{BD//EC}`

$\\$

$\\$

$c,$

`text{Ta có : MH⊥NC}`

`-> text{MH là đường cao của ΔMCN}`

`text{Gọi K là giao của NA và MC}`

`text{Ta có : NK⊥MC}`

`->` `text{NK là đường cao của ΔMCN}`

$\\$

`text{Xét ΔMCN có :}`

`text{NK là đường cao}`

`text{MH là đường cao}`

`text{NK cắt MH tại A}`

`->` `text{A là trực tâm của ΔMCN}`

`->` `text{CA là đường cao}`

`-> CA⊥MN`

$\\$

$\\$

`d,`

`text{Vì ΔBAC = ΔDAE (chứng minh trên)}`

`-> hat{ADM} = hat{ABC}` `text{(2 góc tương ứng)}`

`text{Ta có :}` `hat{DAM} = hat{HAC}` `text{(2 góc đối đỉnh)}`

`text{mà}` `hat{HAC} = hat{ABC}` `text{(Vì cùng phụ}` `hat{BAH})`

`-> hat{DAM} = hat{ABC} (= hat{HAC})`

`text{mà}` `hat{ADM} = hat{ABC}`

`-> hat{DAM} = hat{ADM} (= hat{ABC})`

`->` `text{ΔDAM cân tại M}`

`->` `text{AM = DM (*)}`

$\\$

`text{Vì ΔBAC = ΔDAE (chứng minh trên)}`

`-> hat{AEM} = hat{ACB}` `text{(2 góc tương ứng)}`

`text{Ta có :}` `hat{EAM} = hat{BAH}` `text{(2 góc đối đỉnh)}`

`text{mà}` `hat{BAH} = hat{ACB}` `text{(Vì cùng phụ}` `hat{HAC})`

`-> hat{EAM} = hat{ACB} (= hat{BAH})`

`text{mà}` `hat{AEM} = hat{ACB}`

`-> hat{EAM} = hat{AEM} (= hat{ACB})`

`->` `text{ΔAEM cân tại M}`

`->` `text{AM = ME (**)}`

$\\$

`text{Từ (*) và (**)}`

`-> AM = DM = ME`

`⇔ AM = (DE)/2`

a)Xét ΔADE và ΔABC ta có 

∠DAE=∠BAC=90

AD=AB(gt)

AE=AC(gt)

⇒ΔADE=ΔABC(c.g.c)

⇒DE=BC(2 cạnh t/ứ)(đpcm)

b)Vì ΔABD và ΔACE vuông cân tại A nên ∠D1=∠B1=∠C1=∠E1=45⇒∠D1=∠C1

Mà đây là 2 góc so le trong⇒BD//CE(đpcm)