$\Delta AIM$ và $\Delta BIE$ có:

$\widehat{AIM}=\widehat{BIE}$ (đối đỉnh)

$AI=BI$

$MI=EI$

$\to \Delta AIM=\Delta BIE$ (c.g.c)

$\to \widehat{AMI}=\widehat{IEB}$

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $AM//BE$

Ta có $AD//BE$ nên theo tiên đề Ơclit, $AD\equiv AM$

$\to M\in d$

1.

$\Delta AIE$ và $\Delta BIM$ có:

$\widehat{AIE}=\widehat{BIM}$ (đối đỉnh)

$AI=BI$

$MI=EI$

$\to \Delta AIE=\Delta BIM$ (c.g.c)

$\to \widehat{AEI}=\widehat{BMI}$

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $AE//BM$

2.

$\Delta AMI=\Delta BEI$ nên $AM=EB$

$D, A, M$ thẳng hàng nên $DM=AD+AM$

$\to DM=AD+BE$

$\Delta DIM$ và $\Delta DIE$ có:

$\widehat{DIM}=\widehat{DIE}=90^o$

$DI$ chung

$MI=IE$

$\to\Delta DIM=\Delta DIE$ (c.g.c)

$\to DE=DM$

Vậy $DE=AD+BE$

3.

$\Delta DIM=\Delta DIE\to \widehat{ADI}=\widehat{HDI}$

$\to 90^o-\widehat{ADI}=90^o-\widehat{HDI}$

$\to \widehat{AID}=\widehat{HID}$

$\to \Delta AID=\Delta HID$ (ch-gn)

$\to IA=IH$

Suy ra $IH=IA=IB$

$\to \Delta AHB$ vuông tại $H$ do tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một cạnh. 

$\to \widehat{AHB}=90^o$, $AB=2HI$ 

Theo Pytago:

$AH^2+BH^2= AB^2=(2HI)^2=4HI^2$ 

`\text{c)}` :

Theo `\text{cmt}` ta có :

`\Delta DIM = \Delta DIE (c . g . c)`

`=> \hat{ADI} = \hat{IDH}` ( `2` cạnh tương ứng )  

Xét `\Delta ADI` vuông tại `A`  ta có :

`\hat{DAI} + \hat{ADI} + \hat{AID} = 180^o`

`=> 90^o + \hat{ADI} + \hat{AID} = 180^o`

`=> \hat{ADI} + \hat{AID} = 90^o`

`=> \hat{AID} = 90^o - \hat{ADI}` `(1)`

Chứng minh tương tự : `\hat{DIH} = 90^o - \hat{HDI}` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> \hat{AID} = \hat{DIH}`

Xét `\Delta ADI` vuông tại `A` và `\Delta HID` vuông tại `H` có :

`\hat{AID} = \hat{DIH} (cmt)`

`DI` _ cạnh chung

`=> \Delta ADI = \Delta HDI (ch-gn)`

`=> AI = HI ` ( cạnh tương ứng )

Mà `AI = BI`

`=> AI = BI = HI` ( tính chất bắc cầu )

Vì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm vào một nửa cảnh

`=> \Delta HAB` vuông tại `A` .

Suy ra :

`\hat{BHA} = 90^o`

`{AB}/2 = HI` hay `AB = 2HI`

Áp dụng định lý `Py-ta-go` ta có :

`AB^2 = BH^2 + AH^2 => (2HI)^2 = BH^2 + AH^2`

`=> 4HI^2 = BH^2 + AH^2` hay `BH^2 + AH^2 = 4HI^2`