Đáp án:

 $D$

Giải thích các bước giải:

 Gọi $AD,BE,CF$ lần lượt là các trung tuyến của tam giác $ABC$ với $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC,AB$

Lấy $I$ trên tia đối của tia $AD$ sao cho $DI=DA$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
DB = DC\\
\widehat {BDA} = \widehat {CDI}\left( {dd} \right)\\
DA = DI
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BDA = \Delta CDI\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BA = CI\\
\widehat {BAD} = \widehat {CID}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BA = CI\\
BA//CI
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BA = CI\\
\widehat {ACI} = {90^0}\left( {do:BA \bot AC \Rightarrow CI \bot AC} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BA = IC\\
\widehat {BAC} = \widehat {ICA} = {90^0}\\
ACchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BAC = \Delta ICA\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow BC = AI\\
 \Rightarrow BC = 2AD\\
 \Rightarrow AD = \dfrac{1}{2}BC\\
 \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{1}{3}BC
\end{array}$

Mà ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AB = 5cm;AC = 12cm\\
 \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 13cm\\
 \Rightarrow AG = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{{13}}{3}cm
\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
 + )\Delta ABE;\widehat A = {90^0};AB = 5cm;AE = \dfrac{1}{2}AC = 6cm\\
 \Rightarrow BE = \sqrt {A{B^2} + A{E^2}}  = \sqrt {61} cm\\
 \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BE = \dfrac{{2\sqrt {61} }}{3}cm
\end{array}$

Và:

$\begin{array}{l}
 + )\Delta ACF;\widehat A = {90^0};AC = 12cm;AF = \dfrac{1}{2}AB = 2,5cm\\
 \Rightarrow CF = \sqrt {A{C^2} + A{F^2}}  = \dfrac{{\sqrt {601} }}{2}cm\\
 \Rightarrow CG = \dfrac{2}{3}CF = \dfrac{{\sqrt {601} }}{3}cm
\end{array}$

Như vậy:

$AG + BG + CG = \dfrac{{13}}{3} + \dfrac{{2\sqrt {61} }}{3} + \dfrac{{\sqrt {601} }}{3} = 17,71cm$