Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `Δ=(-5)^2-4.1.m`

`Δ=25-4m`

Để PT có 2 nghiệm dương:

\(\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ S > 0\\ P > 0\end{cases}\)

`⇔` \(\begin{cases} 25-4m \ge 0 \\ 5 > 0\\ m > 0\end{cases}\)

`⇔` \(\begin{cases} m \le \dfrac{25}{4} \\ 5 > 0\\ m > 0\end{cases}\)

`⇒ 0<m \le 25/4`

Theo đề bài, ta có:

`x_1.\sqrt{x_2}+x_2.\sqrt{x_1}=6`

Bình phương hai vế ta có:

`x_{1}^{2}.x_{2}+2x_{1}.x_{2}\sqrt{x_{1}.x_{2}}+x_{2}^{2}.x_{1}=36`

`⇔ x_{1}^{2}.x_{2}+x_{2}^{2}.x_{1}+2x_{1}.x_{2}\sqrt{x_{1}.x_{2}}=36`

`⇔ (x_{1}.x_{2})(x_{1}+x_{2})+2x_{1}.x_{2}\sqrt{x_{1}.x_{2}}=36`

`⇔ m.5+2.m.\sqrt{m}=36`

`⇔ 2\sqrt{m^3}+5m-36=0`

`⇔ m=4\ (TM)`

Vậy với `m=4` thì PT có 2 nghiệm dương `x_1,x_2` tm `x_1.\sqrt{x_2}+x_2.\sqrt{x_1}=6`

PT: $x^{2}$ - 5x + m = 0 (1)

Để PT (1) có 2 nghiệm dương ta có:

Δ ≥ 0; P > 0; S > 0.

*Δ ≥ 0:

=> $b^{2}$ - 4ac ≥ 0

=> $(-5)^{2}$ - 4 . 1 . m ≥ 0

=> 25 - 4m ≥ 0

=> m ≤ 25/4 (2)

*P > 0:

=> $\frac{c}{a}$ > 0

=> $\frac{m}{1}$ > 0

=> m > 0 (3)

*S > 0:

=> $\frac{-b}{a}$ > 0

=> $\frac{-(-5)}{1}$ > 0

=> 5 > 0 (luôn đúng)

Từ (2) và (3), vậy để PT (1) có 2 nghiệm dương thì:

=> 0 < m ≤ 25/4 (*)

Theo ĐL Vi-ét, ta có:

=> $\left \{ {{x1+x2=\frac{-b}{a}} \atop {x1.x2=\frac{c}{a}}} \right.$

=> $\left \{ {{x1+x2=\frac{-(-5)}{1}} \atop {x1.x2=\frac{m}{1}}} \right.$

=> $\left \{ {{x1+x2=5} \atop {x1.x2=m}} \right.$ (4)

Ta lại có:

x1$\sqrt{x2}$ + x2$\sqrt{x1}$ = 6

=> $(x1\sqrt{x2} + x2\sqrt{x1})^{2}$ = $6^{2}$ 

=> $x1^{2}$.x2 + 2.x1$\sqrt{x2}$.x2$\sqrt{x1}$ + $x2^{2}$.x1 = 36

=> $x1^{2}$.x2 + $x2^{2}$.x1 + 2.x1.x2.$\sqrt{x1.x2}$ = 36

=> x1.x2(x1+x2) + 2.x1.x2.$\sqrt{x1.x2}$ = 36 (5)

Thế (4) vào (5), ta được PT:

=> 5m + 2.m.$\sqrt{m}$ = 36

=> 5m + 2.m.$\sqrt{m}$ - 36 = 0

Đặt $\sqrt{m}$ = a, ta có:

=> 5$a^{2}$ + 2.$a^{2}$.a - 36 = 0

=> 2$a^{3}$ + 5$a^{2}$ - 36 = 0

=> a = $\sqrt{m}$ = 2

=> m = $2^{2}$ = 4 (tmđk *)

Vậy m = 4 thì PT (1) có 2 nghiệm dương x1, x2 thỏa mãn x1$\sqrt{x2}$ + x2$\sqrt{x1}$ = 6.

Xin câu trả lời hay nhất ạ :3