a)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AED$, ta có:

+   $AB=AE\left( gt \right)$

+   $\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (vì $AD$ là phân giác)

+   $AD$ là cạnh chung

$\to \Delta ABD=\Delta AED\left( c.g.c \right)$

b)

Vì $\Delta ABD=\Delta AED\left( cmt \right)$

$\to \widehat{ABD}=\widehat{AED}$ và $BD=ED$

$\to \widehat{MBD}=\widehat{CED}$ (hai góc kề bù tương ứng bằng nhau)

Xét $\Delta MBD$ và $\Delta CED$, ta có:

+   $\widehat{MBD}=\widehat{CED}\left( cmt \right)$

+   $BD=ED\left( cmt \right)$

+   $\widehat{MDB}=\widehat{CDE}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta MBD=CED\left( g.c.g \right)$

$\to MB=CE$

Mà $AB=AE\left( gt \right)$

$\to AM=AC$

Mà $DM=DC$ (vì $\Delta MBD=\Delta CED$)

$\to AD$ là đường trung trực của $MC$

c)

Ta có:

$\widehat{ABD}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180{}^\circ $ (tổng ba góc của $\Delta ABC$)

$\widehat{AED}+\widehat{CED}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (vì $\Delta ABD=\Delta AED$)

$\to \widehat{BAC}+\widehat{ACB}=\widehat{CED}$

$\to \widehat{ACB}<\widehat{CED}$

$\to DE<DC$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong $\Delta CED$)

Mà $DB=DE\left( cmt \right)$

$\to DB<DC$

d)

Nếu $\Delta AME$ cân tại $M$

Thì $\widehat{MAE}=\widehat{MEA}$

Mà $\widehat{MEA}=\widehat{DBA}$ (vì $\Delta ABD=\Delta EBD$)

$\to\widehat{MAE}=\widehat{DBA}$

$\to\Delta ABC$ cân tại $C$

Vậy $\Delta ABC$ cân tại $C$ thì $\Delta AME$ cân tại $M$