a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to {{10}^{2}}={{6}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=64$

$\to AC=8cm$

b)

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta MAC$, ta có:

+   $AM$ là cạnh chung

+   $\widehat{MAN}=\widehat{AMC}$ (vì $AN//MC$, hai góc so le trong)

+   $AN=CM\left( gt \right)$

$\to \Delta AMN=\Delta MAC\left( c.g.c \right)$

c)

Vì $\Delta AMN=\Delta MAC\left( cmt \right)$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{MAC}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to AC//MN$

Mà $AB\bot AC$

$\to MN\bot AB$

Xét $\Delta ABM$ có $AH,MN$ là hai đường cao cắt nhau tại $O$

$\to O$ là trực tâm của $\Delta ABM$

$\to BO\bot AM\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $\widehat{OAM}=\widehat{MAC}$ (vì $AM$ là tia phân giác $\widehat{HAC}$)

Mà $\widehat{AMN}=\widehat{MAC}\left( cmt \right)$

$\to \widehat{OAM}=\widehat{AMN}$

$\to \Delta OAM$ cân tại $O$

Có $OP$ là trung tuyến

Nên $OP$ cũng là đường cao

$\to OP\bot AM\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\to B,O,P$  thẳng hàng