Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AHK} = \widehat {AEK} = {90^0}\\
AKchung\\
AH = AE
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AHK = \Delta AEK\left( {ch - cgv} \right)\\
 \Rightarrow HK = EK\\
 \Rightarrow \Delta HKE \text{cân ở K}
\end{array}$

b) Ta có:

$\Delta HKE$ cân ở $K$ $ \Rightarrow \widehat {KHE} = \widehat {KEH}$

Mà $KE//HI\left( { \bot AC} \right) \Rightarrow \widehat {KEH} = \widehat {IHE}$

$ \Rightarrow \widehat {KHE} = \widehat {IHE}\left( { = \widehat {KEH}} \right)$

$\to HE$ là phân giác của $\widehat{IHC}$

c) Ta có:

Xét $\Delta BPH$ có:

$HJ, BA$ lần lượt là trung tuyến ứng với $BP,HP$ và $HJ\cap BA=G$

$\to G$ là trọng tâm của tam giác $BPH$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}AB;HG = \dfrac{2}{3}HJ\\
 \Rightarrow AB + HJ = \dfrac{3}{2}BG + \dfrac{3}{2}HG = \dfrac{3}{2}\left( {BG + HG} \right)
\end{array}$

Xét $\Delta BGH$ có: $BG+HG>BH$ (BĐT tam giác)

Nên: $AB + HJ = \dfrac{3}{2}\left( {BG + HG} \right) > \dfrac{3}{2}BH$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta AHC;\widehat H = {90^0};HI \bot AC = I\\
 \Rightarrow {S_{AHC}} = \dfrac{1}{2}HI.AC = \dfrac{1}{2}AH.HC\\
 \Rightarrow HI.AC = AH.HC
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
{\left( {HI + AC} \right)^2}\\
 = \left( {HI + AC} \right)\left( {HI + AC} \right)\\
 = H{I^2} + 2HI.AC + A{C^2}\\
 > 2HI.AC + A{C^2}\\
 = 2AH.HC + A{H^2} + H{C^2}\\
 = A{H^2} + AH.HC + AH.HC + H{C^2}\\
 = \left( {AH + HC} \right)\left( {AH + HC} \right)\\
 = {\left( {AH + HC} \right)^2}\\
 \Rightarrow {\left( {HI + AC} \right)^2} > {\left( {AH + HC} \right)^2}\\
 \Rightarrow HI + AC > AH + HC
\end{array}$