Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{c|c} GT & Δ MNI \text{ cân tại M} \\ &NH=NI; IE//MN\\ & AM=AI; AB=AC\\\hline KL& a) MH \text{ là p/g}; MH \perp NI\\ &b) ΔMNH=ΔEIH\\& c) ΔMIE \text{ cân}; NI \text{ là ttrực} ΔMIE\\& d) MB = 2CH \end{array}$

C/m:

a) `ΔMNI` cân tại M có MH là đường trung tuyến

`=>` MI đồng thời là đường phân giác, đường cao 

`-> MN ⊥ NI`

b) $MN//IE$ `=> \hat{MNH} = \hat{EIH}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔMNH` và `ΔEIH` có:

          `\hat{MNH} = \hat{EIH} (cmt)`

          `NH = IH (cmt)`

          `\hat{MHN} = \hat{EHI}` (đối đỉnh)

`=> ΔMNH=ΔEIH (g.c.g)`

c) Ta có: `ΔMNH = ΔEIH (cmt)`

`=> MN = EI` (2 cạnh tương ứng); `HM = HE` (2 cạnh t/ứ)

mà `MN = MI` (`ΔMNI` cân tại M)

`=> EI = MI =>` ΔMIE cân tại I

có: $\left.\begin{matrix} IM = IE (cmt)\\ HM = HE (cmt)\end{matrix}\right\}$ `->` HI là đường trung trực

hay NI là trung trực của `ΔMIE`

d) Xét `ΔMIE` có EA và IH là 2 đường trung tuyến; `EA ∩ IH = {C}`

`=>` C là trọng tâm của `ΔMIE`

`=> IC = 2CH` (1)

Xét `ΔABM` và `ΔACI` có:

      `AB = AC (g t)`

      `\hat{BAM} = \hat{CAI}` (đối đỉnh)

      `AM = AI (g t)`

`=> ΔABM = ΔACI (c.g.c)`

`=> MB = IC` (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) `=> MB = 2CH` (đpcm)

Đáp án:

`a,`

`text{Vì ΔMNI cân tại M}`

`text{MH là đường trung tuyến}`

`->` `text{MH là đường phân giác}`

`text{hay MH là tia phân giác của}` `hat{NMI}`

$\\$

`text{Vì ΔMNI cân tại M}`

`text{MH là đường trung tuyến}`

`->` `text{MH là đường cao}`

`-> MH⊥NI`

$\\$

$\\$
$b,$

`text{Vì EI//MN}`

`-> hat{MNH} = hat{EIH}` `text{(2 góc so le trong)}`

$\\$

`text{Xét ΔMNH và ΔEIH có :}`

`text{NH = IH (Vì MH là đường trung tuyến)}`

`hat{MHN} = hat{IHE} = 90^o`

`hat{MHH} = hat{EIH}` `text{(chứng minh trên)}`

`->` `text{ΔMNH = ΔEIH (góc - cạnh  -góc)}`

$\\$

$\\$

$c,$

`text{Vì ΔMNH = ΔEIH (chứng minh trên)}`

`->` `text{MN = EI (2 cạnh tương ứng)}`

`text{mà MN = MI (Vì ΔMNI cân tại M}`

`-> MI = EI (=MN)`

`->` `text{ΔMIE cân tại I}`

$\\$

`text{Vì ΔMIE cân tại I}`

`text{IN là đường cao (1)}`

`->` `text{IN là đường trung tuyến (2)}`

`text{Từ (1) và (2)}`

`->` `text{IN là đường trung trực của ΔMIE}`

$\\$
$\\$

$d,$

`text{Xét ΔMIE có :}`

`text{EA là đường trung tuyến}`

`text{IH là đường trung tuyến}`

`text{EA cắt IH tại C}`

`->` `text{C là trọng tâm của ΔMIE}`

`-> (CI)/(CH) = 2/1 = 2`

`-> CI = 2CH`

$\\$
`text{Xét ΔMAB và ΔIAC có :}`

`text{MA = IA (Vì EA là đường trung tuyến)}`

`text{AB = AC (giả thiết)}`

`hat{MAB} = hat{IAC}` `text{(2 góc đối đỉnh)}`

`->` `text{ΔMAB = ΔIAC (cạnh - góc - cạnh)}`

$\\$

`->` `text{MB = CI (2 cạnh tương ứng)}`

`text{mà CI = 2 CH}`

`-> MB = 2CH`