Đáp án:

 a) $m \in \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right)$

b) Không tồn tại $m$ thỏa mãn.

c) $m \in \left( {\dfrac{2}{3}; + \infty } \right)$

d) Không tồn tại $m$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
{x^3} - 3{x^2} + \left( {3m + 1} \right)x - 3m + 1 = 0\left( 1 \right)\\
 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2{x^2} + 2x + \left( {3m - 1} \right)x - 3m + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - 2x\left( {x - 1} \right) + \left( {3m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3m - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
{x^2} - 2x + 3m - 1 = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

a) Để phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt trong đó có $2$ nghiệm dương và $1$ nghiệm âm

$ \Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có $2$ phân biệt trái dấu khác $1$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{1^2} - 2.1 + 3m - 1 \ne 0\\
ac < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne \dfrac{2}{3}\\
1.\left( {3m - 1} \right) < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne \dfrac{2}{3}\\
m < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}\\
 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right)
\end{array}$

Vậy $m \in \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right)$ thỏa mãn

b) Để phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm khác nhau và trái dấu.

$ \Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có nghiệm kép âm và khác $1$ hoặc phương trình có $1$ nghiệm là $1$ và nghiệm còn lại âm.

+) TH1: Phương trình $(2)$ có nghiệm kép âm và khác $1$

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 0\\
{1^2} - 2.1 + 3m - 1 \ne 0\\
\dfrac{{ - b'}}{a} < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {3m - 1} \right) = 0\\
m \ne \dfrac{2}{3}\\
1 < 0\left( {mt} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \not \exists m
\end{array}$

+) TH2: Phương trình $(2)$ có $1$ nghiệm là $1$ và nghiệm còn lại âm.

Để $1$ là một nghiệm của phương trình $(2)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {1^2} - 2.1 + 3m - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}
\end{array}$

Khi đó:

Phương trình $(2)$ trở thành: 

$\begin{array}{l}
{x^2} - 2x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$

Như vậy: Khi $m = \dfrac{2}{3}$ thì phương trình $(2)$ có nghiệm kép là $1$.

$\to$ Không tồn tại $m$ thỏa mãn.

Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.

c) Phương trình $(1)$ có đúng $1$ nghiệm dương 

$ \Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có hai nghiệm âm hoặc phương trình $(2)$ vô nghiệm

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
S < 0\\
P < 0
\end{array} \right.\\
\Delta ' < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {3m - 1} \right) \ge 0\\
\dfrac{2}{1} < 0\left( {mt} \right)\\
3m - 1 < 0
\end{array} \right.\\
{\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {3m - 1} \right) < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {3m - 1} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow m > \dfrac{2}{3}\\
 \Leftrightarrow m \in \left( {\dfrac{2}{3}; + \infty } \right)
\end{array}$

Vậy $m \in \left( {\dfrac{2}{3}; + \infty } \right)$ thỏa mãn đề.

d) Để phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $x_1;x_2;x_3$

$ \Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_2;x_3$ khác $x_1=1$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{1^2} - 2.1 + 3m - 1 \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne \dfrac{2}{3}\\
{\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {3m - 1} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne \dfrac{2}{3}\\
m < \dfrac{2}{3}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m < \dfrac{2}{3}
\end{array}$

Khi đó:

Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} + {x_3} = 2\\
{x_2}{x_3} = 3m - 1
\end{array} \right.$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right){x_1}{x_2}{x_3} = 9\\
 \Leftrightarrow \left( {1 + 2} \right).1.\left( {3m - 1} \right) = 9\\
 \Leftrightarrow 3m - 1 = 3\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{3}\left( {ktm} \right)\\
 \Leftrightarrow \not \exists m
\end{array}$

Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn