Đáp án:

 Câu 1: $\cos \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3  - 4}}{{10}}$

Câu 2: ${x^2} + {\left( {y - \dfrac{{11}}{4}} \right)^2} = \dfrac{{65}}{{16}}$

Câu 3:$m \in \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{4};\dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{4}} \right\}$

Câu 4: $d:y = 2$ và $d:x = 0$

Giải thích các bước giải:

 Câu 1:

Ta có:

$\begin{array}{l}
\sin \alpha  = \dfrac{{ - 3}}{5}\\
Do:\pi  < \alpha  < \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha  < 0\\
 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \dfrac{{ - 4}}{5}
\end{array}$

Nên:

$\begin{array}{l}
\cos \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{3}} \right)\\
 = \cos \alpha \cos \dfrac{\pi }{3} + \sin \alpha \sin \dfrac{\pi }{3}\\
 = \left( {\dfrac{{ - 4}}{5}} \right).\dfrac{1}{2} + \left( {\dfrac{3}{5}} \right).\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\
 = \dfrac{{3\sqrt 3  - 4}}{{10}}
\end{array}$

Vậy $\cos \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3  - 4}}{{10}}$

Câu 2:

Ta có:

$A\left( {1,1} \right);B\left( {2,3} \right)$

Do $I \in Oy \Rightarrow I\left( {0,a} \right)$

Lại có:

$A,B\in (I)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\\
 \Leftrightarrow {1^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = {2^2} + {\left( {a - 3} \right)^2} = {R^2}\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
R = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1} \\
4a = 11
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{11}}{4}\\
R = \dfrac{{\sqrt {65} }}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$

$\to $ Phương trình đường tròn cần tìm là: ${x^2} + {\left( {y - \dfrac{{11}}{4}} \right)^2} = \dfrac{{65}}{{16}}$

Câu 3:

Ta có:

Phương trình $2{x^2} + 2mx + {m^2} - 2 = 0\left( 1 \right)$ có hai nghiệm $x_1;x_2$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 2\left( {{m^2} - 2} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow 4 - {m^2} \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2
\end{array}$

Khi đó:

Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - m\\
{x_1}{x_2} = {m^2} - 2
\end{array} \right.$

Để$2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} - 4 =  - 4$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 2} \right) + \left( { - m} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 4 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{4}\\
m = \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{4}
\end{array} \right.\left( c \right)
\end{array}$

Vậy $m \in \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{4};\dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{4}} \right\}$

Câu 4:

Gọi phương trình đường thẳng $d: ax+b(y-2)=0$

Gọi $H$ là trung điểm của $MN$

Ta có:

$BH\bot MN=H$ (Tính chất của đường thẳng qua tâm vuông góc với dây cung)

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta BHM;\widehat {BHM} = {90^0};BM = 2;MH = \dfrac{1}{2}MN = \sqrt 3 \\
 \Rightarrow BH = \sqrt {B{M^2} - M{H^2}}  = 1\\
 \Leftrightarrow d\left( {B,d} \right) = 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {a.1 + b\left( {3 - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 1\\
 \Leftrightarrow \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = {a^2} + {b^2}\\
 \Leftrightarrow 2ab = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0
\end{array} \right.\\
 + )TH1:a = 0\\
 \Rightarrow d:y = 2\\
 + )TH2:b = 0\\
 \Rightarrow d:x = 0
\end{array}$

Vậy có hai đường thẳng $d$ thỏa mãn là: $d:y = 2$ và $d:x = 0$