`S = (1^2 - 1)/(1^2) + (2^2 - 1)/(2^2) + .... + ( n^2 - 1)/(n^2)`

`S = (1 + 1 + 1 +...+1) - (1/(1^2) + 1/(2^2) + .... + 1/(n^2))`

`S = n - (1/(1^2) + 1/(2^2) + .... + 1/(n^2))`

`Vì  n  nguyên  nên  ta  cần  CM  1/(1^2) + 1/(2^2) + .... + 1/(n^2)  khác  số  nguyên`

` Do số  nguyên  trừ  một  số  ∉ Z  thành  một  số  ∉ Z`

` Đặt  1/(1^2) + 1/(2^2) + .... + 1/(n^2) = A`

` Ta  có  : 1/(1^2) + 1/(2^2) + .... + 1/(n^2)< 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)n)`

` ⇔ A < 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)n) = 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/(n-1) - 1/n`

` ⇔ A < 2`

` Lại  có  :`

` A > 1 ( do 1/(1^2) = 1 )`

` ⇒ 2>A>1` ⇒ A∉Z ⇒ đpcm`

` 2. Nếu a $\neq$ 0  thì  b  chẵn ( do  vế  trái  lẻ ⇒ 20a + 7b + 3 lẻ )`

` Mà  b  chẵn  thì  20^a + 20a + b  chẵn ⇒ mâu  thuẫn ⇒ a = 0`

`⇒ ( 4 + 7b )( 21 + b ) = 803`

` Nếu  b  lẻ  thì  21 + b  chẵn`

` Nếu  b  chẵn  thì  4 + 7b  chẵn`

` ⇒ mâu  thuẫn `

` Vậy  không  tìm  được  a;b  thõa  mãn`

`color(blue){#KAITO# ( sắp  chết  do  số  học :D )}`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Giả sử `S_n in ZZ`

 `S_n=(1+1+...+1)-(1/2^2 + 1/3^2 +...+1/n^2)`

`=>1/2^2 + 1/3^2 +...+1/n^2 in ZZ` 

Ta cần chứng minh `S_n <1`

Ta có từng phân số dạng `1/2^2 < 1*2` tức đều nhỏ hơn số đi trước nó nhân với chính nó. Thật vậy, `1/n^2 <1(n(n-1)*n)`

`=1 - 1/n <1`. Cộng từng vế với nhau  `(1)`

`=>1/2^2 + 1/3^2 +...+1/n^2 in ZZ` Nhận thấy biểu thức này luôn lớn hơn `0`. Do mẫu là bình phương của 1 số tự nhiên `(2)`

`(1)+(2) =>đpcm`

---------------------------------------------------------------------

Nếu `a ne 0`

`=>` VT chẵn mà VP lẻ `=>` Mâu thuẫn

 Vậy `a = 0 => (7b + 3) . (b + 1) = 803 = 1 . 803 = 11 . 73`  Vì b `in N => 7b + 3 > b + 1.` Do đó: 7b+3=803 và b+1=1   hoặc 7b+3=73 và b+1=11

`=>a=0;b=10`