Giải thích các bước giải:

a, ΔO1AC cân tại O1 có O1I là trung tuyến

⇒ O1I cũng là đường cao hay O1I ⊥ AC (1)

ΔO2AD cân tại O2 có O2J là trung tuyến

⇒ O2J cũng là đường cao hay O2J ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra O1I ║ O2J

⇒ Tứ giác O1IJO2 là hình thang 

mà O1I ⊥ IJ (do O1I ⊥ AC)

⇒ O1IJO2 là hình thang vuông (đpcm)

b, ΔO1AC cân tại A ⇒ $\widehat{O1AC} = \widehat{C}$

ΔO2AD cân tại A ⇒ $\widehat{O2AD} = \widehat{D}$

Ta lại có:  $\widehat{O1AC} + \widehat{O1AO2} + \widehat{O2AD}$ = $\widehat{C} + \widehat{M} + \widehat{D}$ = $180^o$

⇒ $\widehat{O1AO2} = \widehat{M}$

⇒ O1, A, O2, M cùng thuộc 1 đường tròn (1)

Ta có: $\widehat{O1AO2} = \widehat{O1BO2}$

⇒ O1, A, O2, B cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra: O1, O2, M, B cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

c, Gọi O là trung điểm của O1O2

ΔBO1O2 ~ ΔBCD ($\widehat{O1} = \widehat{C}$; $\widehat{O2} = \widehat{S}$)

Mà BO và BE là 2 trung tuyến tương ứng
⇒ ΔBO1C ~ ΔBOE
ΔBO1C cân tại O1 ⇒ BOE cân tại O

⇒  OE = OB ⇒ E thuộc (O;OB)

Tập hợp điểm E là (O;OB)

d, ΔBO1O2 ~ ΔBCD (câu c)

⇒ $\frac{O_1 O_2}{CD}$ = $\frac{BO_1}{BC}$ 

Vì O1O2 và BO1 đều không đổi nên CD lớn nhất ⇔ BC lớn nhất

⇔ B, O1, C thẳng hàng

⇔ Dây CD được xác định bằng cách:

Gọi C là giao của BO1 và (O1)

Nối AC, cắt (O2) tại D

Ta được dây CD lớn nhất.