Vì AM gấp đôi BM nên AM $=\frac{2}{3}$ AB. 

Vì AN $=\frac{2}{3}$ NC nên AN $=\frac{2}{5}$ AC. 

Xét tam giác AMC và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ C xuống AB, đáy AM $=\frac{2}{3}$ AB nên diện tích tam giác AMC bằng $\frac{2}{3}$ diện tích tam giác ABC.

Xét tam giác AMN và tam giác AMC có chung chiều cao hạ từ M xuống AC, đáy AN bằng $\frac{2}{5}$ đáy AC nên diện tích tam giác AMN bằng $\frac{2}{5}$ diện tích tam giác AMC. Do đó diện tích tam AMN bằng $\frac{2}{5} \times \frac{2}{3}=\frac{4}{15}$ diện tích tam giác ABC

Phân số chỉ diện tích tứ giác MNCB là:

   $1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$ (diện tích tam giác ABC)

Phân số chỉ $24$ $cm^{2}$ là:

   $\frac{11}{15}-\frac{4}{15}=\frac{7}{15}$ (diện tích tam giác ABC)

Diện tích tam giác ABC là:

   $24:\frac{7}{15}=\frac{360}{7}=51,43$ ($cm^{2}$ )

        ĐS: $51,43$ $cm^{2}$