Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

∠AMB = ∠ANC = 90° (gt)

∠MAB = ∠NAC (có 2 cạnh chung )

—► Δ ABM ~ Δ ACN   (g.g)

—► AN/AM = AC/AB                         (1)

—►  AN.AB = AM.AC (đpcm)

b) Ta có:

∠DNB = ∠DMC = 90° (gt)

∠NDB = ∠MDC (đối đỉnh)

—► Δ NDB ~ Δ MDC   (g.g)

—► NB/DB = MC/DC

—► NB/MC = DB/DC

Vậy khi NB/MC = 2/3 thì  DB/DC = 2/3

c) Theo (1) ở CM câu a) ta có:

     AN/AM = AC/AB

Mặt khác ta cũng có:

∠NAM = ∠CAB (có 2 cạnh chung )

—► Δ NAM ~ Δ CAB   (c.g.c)

—► ∠AMN = ∠ABC (góc t/ứ của Δ đồng dạng) —► ∠AMK = ∠ABI     (2)

Đồng thời: AM/MN = AB/BC

chia 2 vế cho ½

—► AM/½MN = AB/½BC

Vì I và K là trung điểm MN và BC

—►AM/MK=AB/BI                           (3)

Từ (2) và (3)

—► Δ AMK ~ Δ ABI   (c.g.c)

—► ∠KAM = ∠IAB (góc t/ứ của Δ đồng dạng)                                                (4)

Trừ 2 vế của (4) cho ∠KAI ta có:

∠KAM - ∠KAI = ∠IAB - ∠KAI

—► ∠CAI = ∠BAK  (đpcm)