a.

Vì FD là đường trung trực

⇒∠CFE = 90 độ

Xét 2Δ vuông:

ΔABC và ΔFBD có:

∠B chung

⇒ΔABC đồng dạng ΔFBD (g.g)

⇒∠C = ∠D 

Xét 2Δ vuông:

ΔFEC và ΔFBD có:

∠C = ∠D (c/m)

⇒ΔFEC đồng dạng ΔFBD (g.g) (3)

b.

Xét 2Δ vuông:

ΔAED và ΔFEC có:

∠AED = ∠FEC (đối đỉnh)

⇒ΔAED đồng dạng ΔFEC (g.g) (1)

Vì EF // AH ( Cùng vuông góc với BC )

⇒ΔFEC đồng dạng ΔHAC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔAED đồng dạng ΔHAC ( Cùng đồng dạng với ΔFEC ) 

c

FD = FE + ED = 4 + 5 = 9 (cm).

Từ (3) ⇒ FB/FD = FE/FC ⇒ FB.FC = FD.FE ⇒ FC² = 9.4 = 36 ⇒ FC = 6 ⇒ BC = 12 (cm)

Kẻ AF

Vì FC = FB (FD là đường trung trực của BC)

⇒AF là đường trung tuyến

⇒AF = FB = 6 (cm)

⇒AF = AB = 6 (cm) ⇒ ΔABF cân tại A

⇒AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ΔABF

⇒HF = HB = 3 (cm)

Theo định lý py-ta-go ta có:

AH² + HB² = AB²

⇒AH² = AB² - HB² = 6² - 3³ = 27

⇒AH = √27 

Theo định lý py-ta-go ta có:

AB² + AC² = BC²

⇒AC² = BC² - AB² = 12² - 6² = 108

⇒AC = √108