`a)` Ta có:

`\qquad \hat{CBC_1}=\hat{ABC}+\hat{ABC_1}`

`=\hat{ABC}+60°` (do $∆ABC_1$ đều)

`\qquad \hat{A_1BA}=\hat{ABC}+\hat{A_1BC}`

`=\hat{ABC}+60°` (do $∆ABC_1$ đều)

`=>\hat{CBC_1}=\hat{A_1BA}`

$\\$

Xét $∆BCC_1$ và $BA_1A$ có:

`\qquad BC=BA_1` (do $∆BCA_1$ đều)

`\qquad \hat{CBC_1}=\hat{A_1BA}` (c/m trên)

`\qquad BC_1=BA` (do $∆ABC_1$ đều)

`=>`$∆BCC_1=∆BA_1A$(c-g-c)

`=>`$CC_1=A_1A$

Tương tự chứng minh được: $∆AC C_1=∆AB_1B$ (c-g-c)

`=>`$CC_1=B_1B$

`=>`$AA_1=BB_1=CC_1$

$\\$

`b)` Gọi $I$ là giao điểm của $BB_1$ và $CC_1$

Vì $∆BCC_1=∆BA_1A$ (c/m trên)

`=>\hat{BC_1C}=\hat{BA A_1}`

`=>\hat{BC_1I}=\hat{BAI}`

`=>C_1;A` cùng nhìn cạnh $BI$ dưới hai góc bằng nhau

`=>AIBC_1` nội tiếp  

`=>I` thuộc đường tròn ngoại tiếp `∆ABC_1` $(1)$

`\qquad \hat{AIB}+\hat{AC_1B}=180°` (tổng $2$ góc đối bằng $180°$)

`=>\hat{AIB}=180°-\hat{AC_1B}=180°-60°=120°`

$\\$

`\qquad \hat{AIB_1}=\hat{AC_1B}=60°` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>\hat{AIB_1}=\hat{ACB_1}=60°` `(\hat{AB_1C}=60°` do $∆ACB_1$ đều)

`=>I;C` cùng nhìn cạnh $AB_1$ dưới hai góc bằng nhau

`=>AICB_1` nội tiếp 

`=>I` thuộc đường tròn ngoại tiếp `∆ACB_1` $(2)$

`=>\hat{AIC}+\hat{AB_1C}=180°`

`=>\hat{AIC}=180°-\hat{AB_1C}=180°-60°=120°` 

Ta có:

`\qquad \hat{AIB}+\hat{AIC}+\hat{BIC}=360°`

`=>\hat{BIC}=360°-(120°+120°)=120°`

`=>\hat{BIC}+\hat{BA_1C}=120°+60°=180°`

Mà `\hat{BIC};\hat{BA_1C}` ở vị trí đối nhau 

`=>BICA_1` nội tiếp 

`=>I` thuộc đường tròn ngoại tiếp `∆BCA_1` $(3)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3)=>3` đường tròn ngoại tiếp `∆BCA_1;∆ACB_1;∆ABC_1` cắt nhau tại điểm $I$ 

$\\$

`c)` Vì $BICA_1$ nội tiếp $(O_1)$

`=>O_1I=O_1C`

 $\quad AICB_1$ nội tiếp $(O_2)$

`=>O_2I=O_2C`

`=>O_1O_2` là trung trực của $IC$

`=>O_1O_2`$\perp IC$ tại trung điểm $D$ của $IC$

`=>\hat{IDO_1}=90°`

$\\$

Tương tự chứng minh được: 

`\qquad O_1O_3`$\perp IB$ tại trung điểm $E$ của $IB$

`=>\hat{IEO_1}=90°`

$\\$

`=>\hat{IDO_1}+\hat{IEO_1}=180°`

`=>IDO_1E` nội tiếp 

`=>\hat{DO_1E}+\hat{EID}=180°`

`=>\hat{DO_1E}=180°-\hat{EID}`

`=180°-\hat{BIC}=180°-120°=60°`

`=>\hat{O_2O_1O_3}=60°`

Tương tự chứng minh được:

`\qquad \hat{O_1O_2O_3}=60°`

`=>∆O_1O_2O_3` có: `\hat{O_1O_2O_3}=\hat{O_2O_1O_3}=60°`

`=>∆O_1O_2O_3` đều