`a)` Vẽ $EH\perp BC$ tại $H$; $EK\perp AB$ tại $K$; $EM\perp AC$ tại $M$

Vì $E$ là giao điểm hai phân giác ngoài của `\hat{B};\hat{C}`

`=>EK=EH;EM=EH`

`=>EK=EM`

`=>E` thuộc tia phân giác của `\hat{BAC}` $(1)$

Mà `D` là giao điểm hai phân giác trong của `\hat{B};\hat{C}`

`=>D` cũng thuộc phân giác trong của `\hat{BAC}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>A;D;E` thẳng hàng 

$\\$

`b)` Áp dụng tính chất phân giác trong và ngoài của $1$ góc thì vuông góc với nhau

`=>EB`$\perp BD$; $EC\perp CD$

`=>\hat{EBD}=\hat{ECD}=90°`

`=>\hat{EBD}+\hat{ECD}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{EBD};\hat{ECD}` ở vị trí đối nhau 

`=>BECD` nội tiếp đường tròn đường kính $DE$, tâm $O'$ là trung điểm $DE$

$\\$

_______________

(Nếu muốn chỉ rõ $O'$ là giao điểm $DE$ và $(O)$

Ta có:

`\qquad \hat{BDO'}=\hat{BAD}+\hat{ABD}` (tính chất góc ngoài)

`=1/ 2 \hat{BAC}+1/ 2 \hat{ABC}`

$\\$

$\quad O'$ là trung điểm $DE$

`=>BO'` là trung tuyến $∆ADE$ vuông tại $B$

`=>BO'=DO'=1/ 2 DE`

`=>∆BDO'` cân tại $O'

`=>\hat{BO'D}=180°-2\hat{BDO'}`

`=180°-2.(1/ 2 \hat{BAC}+1/ 2 \hat{ABC})`

`=180°-(\hat{BAC}+\hat{ABC})=\hat{BCA}`

`=>\hat{BO'A}=\hat{BCA}`

`=>O';C` cùng nhìn cạnh $AB$ dưới $2$ góc bằng nhau 

`=>ABO'C` nội tiếp 

Mà `A;B;C\in (O)`

`=>O'\in (O)`

`=>O'` là trung điểm $DE$ cũng vừa là giao điểm của $DE$ và $(O)$)

$\\$

`c)` Vì `BECD` nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{EDC}=\hat{EBC}` (cùng chắn cung $CE$)

`=>\hat{CDI}=\hat{EBI}`

Xét $∆CDI$ và $∆EBI$ có:

`\qquad \hat{CID}=\hat{EIB}` (hai góc đối đỉnh)

`\qquad \hat{CDI}=\hat{EBI}`

`=>∆CDI∽∆EBI` (g-g)

`=>{IC}/{IE}={ID}/{IB}`

`=>BI.IC = ID.IE`