Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

Gọi `3` số tự nhiên liên tiếp là `a-1; a; a+1 (a in NN; a > 0)`

Đặt `M=(a-1)^3 +a^3 + (a+1)^3`

`-> M=3a^3 +6a`

`-> M=3a(a-1)(a+1)+9a`

`(a-1)a(a+1)` là tích `3` số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `3`

Vậy `M \vdots 9`

`b) A=(11n^3 +12n^2 +12n+20)/(n^2 +1)`
`-> A=11n +12+(n+8)/(n^2 +1) (n in NN)`

`A in ZZ` khi `n+8 \vdots n^2 +1` và `n+8 >= n^2 +1`

`n(n-1) <= 7`

`<=> n={0; 1; 2; 3}`

Thử lại thì `n={0; 2}` thõa mãn

Vậy `n={0;2}` để `A in ZZ`

a,                     Giải

Giả sử ba số tự nhiên đó lần lượt là: `a - 1; a; a + 1`  (a ∈ N*)

Ta có: `(a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3`

`= a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + a^3 + a^3 + 3a^2 + 3a + 1`

`= 3a^3 + 6a`

`= 3a(a^2 + 2)`

`= 3a(a^2 - 1 + 3)`

`= 3a(a^2 - 1) + 9a`

`= 3(a - 1)a(a + 1) + 9a`

Vì (a - 1)a(a + 1) 3  (Tích 3 số nguyên liên tiếp)

⇒ 3(a - 1)a(a + 1) 9

Mặt khác: 9a 9

⇒ 3(a - 1)a(a + 1) + 9a 9

`=>` đpcm

b, Ta có: `A = (11n^3 + 12n^2 + 12n + 20)/(n^2 + 1)`

`=> A = [(11n^3 + 11n) + (12n^2 + 12) + n + 8]/(n^2 + 1)`

`=> A = [11n(n^2 + 1) + 12(n^2 + 1) + n + 8]/(n^2 + 1)`

`=> A = 11n + 12 + (n + 8)/(n^2 + 1)`

Để A có giá trị nguyên thì

n + 8 n^2 + 1

⇒ (n + 8)(n - 8) n^2 + 1

⇒ n^2 - 64 n^2 + 1

⇒ n^2 + 1 - 65 n^2 + 1

⇒ 65 n^2 + 1

`=> n^2 + 1 ∈ Ư(65)`

`=> n^2 + 1 ∈ {±1;±5;±13;±65}

`=> n^2 ∈ {-66;-14;-6;-2;0;4;12;64}

Mà `n^2 ≥ 0`

`=> n^2 ∈ {0;4;12;64}`

`=> n ∈ {0;±2;±√12;±8}`

Mà n ∈ N

`=> n ∈ {0;2;8}

Thử lại:

+) Với n = 0 thì

`A = (11.0^3 + 12.0^2 + 12.0 + 20)/(0^2 + 1)`

`=> A = 20/1`

`=> A = 20 `       (tm)

+) Với n = 2 thì 

`A = (11.2^3 + 12.2^2 + 12.2 + 20)/(2^2 + 1)`

`=> A = 180/5`

`=> A = 36 `       (tm)

+) Với n = 8 thì 

`A = (11.8^3 + 12.8^2 + 12.8 + 20)/(8^2 + 1)`

`=> A = 6516/65`      (không tm)

Vậy n ∈ {0;2} thì A có giá trị nguyên